Question

19．如圖所示，長直水平軌道PC與光滑圓弧軌道CDE平滑連接．輕質(zhì)彈簧一端系于固定立柱上，另一端系住物塊B，與圓弧末端E相距R處的一擋板N平行于OE放置．開始時，向右壓B使彈簧縮短x₀后鎖定，光滑彈性小球A緊貼B靜置．現(xiàn)解除鎖定，A、B一起運動至位置Q分離，然后小球A繼續(xù)沿軌道運動并恰能通過最高點D．已知：小球A、物塊B均視為質(zhì)點，質(zhì)量均為m，圓弧半徑為R，彈簧勁度系數(shù)為k，物塊與水平軌道的動摩擦因數(shù)為μ，OE連線與豎直方向的夾角為θ=60^o．求：

（1）解除鎖定至A、B分離過程中A運動的距離；
（2）解除鎖定至A、B分離過程中彈簧釋放的彈性勢能；
（3）當小球A從E點飛出時，立即對小球A施加一恒力，使小球能垂直打到擋板N上，求滿足條件要求的所有恒力大小的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當B所受合力為零時，A、B分離，由胡克定律求出彈簧的壓縮量，再得到A運動的距離．
（2）A恰好過最高點D，由重力提供向心力，由此可求得A通過D點時的速度．小球從Q到D機械能守恒，由此求得A、B分離時速度．再由能量守恒定律求彈簧釋放的彈性勢能．
（3）滿足題設(shè)要求，有下列3種情況：
①勻速打到板上，此時有F=mg．             
②勻加速打到板上，重力mg與F的合力應(yīng)和速度方向相同．
③勻減速打到板上．由機械能守恒定律和力的合成法結(jié)合解答．

解答 解：（1）當B所受合力為零時，A、B  分離，設(shè)此時彈簧的壓縮量為△x
有：k•△x=μmg                  
A  運動的距離：s=x₀-△x       
解得：s=x₀-$\frac{μmg}{k}$                
（2）A恰好過最高點D，有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$             
設(shè)A、B  分離時速度為v_Q，小球從Q到D機械能守恒，
即有：$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$                           
彈簧釋放過程由能量守恒有：△E_p=$\frac{1}{2}（2m）{v}_{Q}^{2}$+μmgs         
解得：△E_p=5mgR+μmg（x₀-$\frac{μmg}{k}$）         
（3）要滿足題設(shè)要求，有下列3種情況：
①勻速打到板上，此時有F=mg                
②勻加速打到板上，重力mg與F的合力應(yīng)和速度方向相同，
當F  與速度垂直時F最小，如圖所示，

則：F_min=mgsin30°
即F_min=$\frac{1}{2}$mg                                           
該范圍為 F≥$\frac{1}{2}$mg                                        
③勻減速打到板上，
設(shè)小球從E點飛出速度為v_E，從D到E機械能守恒，
有：$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$+mgR（1-cos60°）
得  v_E=$\sqrt{2gR}$
設(shè)勻減速運動的加速度大小為a，應(yīng)有：${v}_{N}^{2}$-${v}_{E}^{2}$=-2aR
要使小球能夠打到N板，v_N≥0
可得：a≤g
即小球受到與速度相反方向的合力 F_合≤mg      
該臨界狀態(tài)時力的矢量關(guān)系如圖所示，

有 F≤2mgcos15°                      
得：F≤$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$mg
或者  F≤$\sqrt{2（mg）^{2}-2（mg）^{2}cos150°}$
得 F≤$\sqrt{2+\sqrt{3}}$mg
該范圍為$\frac{1}{2}$mg≤F≤$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$mg或$\frac{1}{2}$mg≤F≤$\sqrt{2+\sqrt{3}}$mg
答：
（1）解除鎖定至A、B分離過程中A運動的距離是x₀-$\frac{μmg}{k}$；
（2）解除鎖定至A、B分離過程中彈簧釋放的彈性勢能是5mgR+μmg（x₀-$\frac{μmg}{k}$）；
（3）滿足條件要求的所有恒力大小的取值范圍是$\frac{1}{2}$mg≤F≤$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$mg或$\frac{1}{2}$mg≤F≤$\sqrt{2+\sqrt{3}}$mg．

點評 分析清楚物體的運動情況，抓住臨界條件，判定能量是如何轉(zhuǎn)化的是解決本題的關(guān)鍵．第3小題考慮問題要全面，不要漏解．