Question

19．如圖所示，生產(chǎn)車間有兩個(gè)相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙，甲的速度為3v₀，小工件輕放于傳送帶甲，離開甲前與甲的速度相同，并平穩(wěn)地傳到乙上，工件與甲、乙之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ．乙的寬度足夠大，重力加速度為 g．
（1）若小工件與傳送帶甲間存在劃痕，求劃痕的長度
（2）若乙的速度為4v₀，求
①工件在乙上側(cè)向（ 垂直于乙的運(yùn)動(dòng)方向）滑過的距離s
②工件在乙上剛停止側(cè)向滑動(dòng)時(shí)的速度大小v．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別求出工件達(dá)到傳送帶速度時(shí)工件和傳送帶的位移，從而求出痕跡的長度．
（2）工件滑動(dòng)傳送帶乙，沿傳送帶方向相對(duì)傳送帶向后滑，垂直傳送帶方向相對(duì)傳送帶向前滑，可知摩擦力與側(cè)向的夾角，根據(jù)牛頓第二定律得出側(cè)向的加速度，結(jié)合速度位移公式求出側(cè)向上滑過的距離．
（3）結(jié)合縱向加速度與側(cè)向加速度的比值與兩個(gè)方向上速度的變化量比值相同，得出摩擦力的方向保持不變，從而得出相對(duì)傳送帶側(cè)向速度為零，則相對(duì)傳送帶沿傳送帶方向速度為零，從而得出此時(shí)的速度大�。�

解答 解：（1）工件與傳送帶甲速度相等時(shí)，經(jīng)歷的位移${x}_{1}=\frac{9{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{9{{v}_{0}}^{2}}{2μg}$，
此時(shí)傳送帶的位移${x}_{2}=3{v}_{0}×\frac{3{v}_{0}}{μg}=\frac{9{{v}_{0}}^{2}}{μg}$，
可知痕跡的長度$△x={x}_{2}-{x}_{1}=\frac{9{{v}_{0}}^{2}}{2μg}$．
（2）摩擦力與側(cè)向的夾角的正切值$tanα=\frac{4}{3}$，解得α=53°
側(cè)向加速度大小a_x=μgcos53°，
則側(cè)向滑過的距離s=$\frac{（3{v}_{0}）^{2}}{2{a}_{x}}$=$\frac{15{{v}_{0}}^{2}}{2μg}$．
（3）設(shè)t=0時(shí)刻摩擦力與側(cè)向的夾角為θ，側(cè)向、縱向加速度大小分別為a_x、a_y，
則$\frac{{a}_{y}}{{a}_{x}}=tanθ$
且由題意知，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$，則$\frac{{v}_{y}′}{{v}_{x}′}=\frac{{v}_{y}-△{v}_{y}}{{v}_{x}-△{v}_{x}}=tanθ$
所以摩擦力方向保持不變，
則當(dāng)v_x′=0時(shí)，v_y′=0，即v=4v₀．
答：（1）劃痕的長度為$\frac{9v_0^2}{2μg}$；
（2）①工件在乙上側(cè)向（ 垂直于乙的運(yùn)動(dòng)方向）滑過的距離為$\frac{15{{v}_{0}}^{2}}{2μg}$
②工件在乙上剛停止側(cè)向滑動(dòng)時(shí)的速度大小為4v₀

點(diǎn)評(píng) 本題考查工件在傳送帶上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題，關(guān)鍵將工件的運(yùn)動(dòng)分解為沿傳送帶方向和垂直傳送帶方向，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解，難度較大．