Question

18．據(jù)報道，我國將于2016年擇機發(fā)射“天宮二號”，并計劃于2020年發(fā)射“火星探測器”．設(shè)“天宮二號”繞地球做圓周運動的半徑為r₁、周期為T₁；“火星探測器”繞火星做做圓周運動的半徑為r₂、周期為T₂，萬有引力常量為G．根據(jù)題設(shè)條件可得（　�。�

• A． 關(guān)系式$\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}$
• B． 地球與火星的平均密度之比為$\frac{{{T}_{1}}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$
• C． 地球與火星的質(zhì)量之比為$\frac{{{r}_{1}}^{3}{{T}_{2}}^{2}}{{{r}_{2}}^{3}{{T}_{1}}^{2}}$
• D． “天宮二號”和“火星探測器”的向心加速度大小之比為$\frac{{r}_{1}{{T}_{2}}^{2}}{{r}_{2}{{T}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力列式，可求得地球和火星的質(zhì)量．由于地球和火星本身的半徑未知，是不能求出地球的密度的．根據(jù)圓周運動的向心加速度公式求向心加速度之比

解答 解：A、根據(jù)開普勒第三定律，“天宮二號”和“火星探測器”不是圍繞同一個中心天體運動，所以有$\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}≠\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$，故A錯誤；
B、因為地球和火星的半徑不知道，所以無法算出地球和火星的體積，所以地球和火星的平均密度無法求，故B錯誤
C、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得中心天體的質(zhì)量為$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，
“天宮二號”繞地球做圓周運動的半徑為r₁、周期為${T}_{1}^{\;}$，地球質(zhì)量為${M}_{地}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$
“火星探測器”繞火星做做圓周運動的半徑為r₂、周期為${T}_{2}^{\;}$，火星質(zhì)量為${M}_{火}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$
所以有$\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{火}^{\;}}=\frac{{r}_{1}^{3}{T}_{2}^{2}}{{r}_{2}^{3}{T}_{1}^{2}}$，故C正確；
D、根據(jù)圓周運動知識，向心加速度$a=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
“天宮二號”的向心加速度大小${a}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}$
“火星探測器”的向心加速度大小${a}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}{r}_{2}^{\;}$
“天宮二號”和“火星探測器”的向心加速度大小之比為$\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{1}^{\;}{T}_{2}^{2}}{{r}_{2}^{\;}{T}_{1}^{2}}$，故D正確
故選：CD

點評 解決本題的關(guān)鍵要明確衛(wèi)星的運動模型，知道由萬有引力提供其圓周運動向心力．本題也可以根據(jù)開普勒第三定律分析周期的大�。�