Question

3．如圖所示，用一根長為L=1.0m不可伸長的細(xì)繩，一端固定在天花板上的O點(diǎn)，另一端系一小球A，在O點(diǎn)的正下方釘一釘子B，質(zhì)量為m=lKg的小球由水平位置靜止釋放，取g=l0m/s²．
（1）在O點(diǎn)的正下方如果沒有釘子B，小球擺到最低點(diǎn)D時，小球速度多大？（6分）細(xì)繩的拉力是多大？
（2）如果細(xì)繩的最大承受力為135N，要使細(xì)繩碰到B后小球能以B為圓心做完整的圓周運(yùn)動，求釘子B離O點(diǎn)的可能距離．

Answer 1

分析 （1）由靜止釋放小球，細(xì)繩的拉力不做功，根據(jù)動能定理列式可求得小球擺到最低點(diǎn)D時的速度大小；在最低點(diǎn)D，由重力和細(xì)繩拉力的合力提供小球的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解細(xì)繩的拉力大小．
（2）當(dāng)細(xì)繩的拉力達(dá)到最大值135N時，點(diǎn)B離O最遠(yuǎn)，在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律和向心力公式求B離O點(diǎn)的最大距離．小球剛好能過最高點(diǎn)C時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律和動能定理結(jié)合求解點(diǎn)B離O是最近的距離，從而得到釘子B離O點(diǎn)的可能距離范圍．

解答 解：（1）從A至D，應(yīng)用動能定理，得：
mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-0
變形得：v_D=$\sqrt{2gL}$=$\sqrt{2×10×1}$=2$\sqrt{5}$m/s
由圓周運(yùn)動的規(guī)律及牛頓第二定律，有：
T-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$
代入數(shù)據(jù)，運(yùn)算得：T=30N
（2）①當(dāng)T為135N時，點(diǎn)B離O最遠(yuǎn)，設(shè)為S₁，在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律有：
T-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L-{S}_{1}}$
代入數(shù)值計算得：S₁=0.84m
②設(shè)點(diǎn)B離O是最近的距離為S₂，此時小球剛好能過最高點(diǎn)C．
在C點(diǎn)有，由牛頓第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{L-{S}_{2}}$
從D到C，應(yīng)用動能定理有：
-mg•2（L-S₂）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
由以上兩式得：S₂=0.6m
因此，B離O點(diǎn)的距離可能為0.6m至0.84m．
答：（1）小球擺到最低點(diǎn)D時，小球速度是2$\sqrt{5}$m/s，細(xì)繩的拉力是30N．
（2）B離O點(diǎn)的距離可能為0.6m至0.84m．

點(diǎn)評 本題中要注意細(xì)繩碰到釘子前后轉(zhuǎn)動半徑的變化，再由向心力公式分析繩子上的拉力．小球擺到最低點(diǎn)雖與釘子相碰，但沒有能量的損失．要抓住圓周運(yùn)動最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力．