Question

9．如圖，x軸的上方存在勻強磁場B₁和勻強電場E₁，其中B₁=0.20T，方向垂直紙面向里；E₁=2.0×10⁵v/m，方向沿x軸負方向．M、N是與x軸平行的薄板，其中N板位于x軸上．P、Q是MN板上的兩個小孔，其連線與y軸平行．在xOy坐標系的第一象限內(nèi)，有一理想邊界線AO，與x軸的夾角∠AOx=45°，邊界線的上方有垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度B₂=0.25T，邊界線的下方有沿y軸正方向的勻強電場，電場強度E₂=5.0×10⁵V/m，y軸上固定一熒光屏．一束帶電荷量q=8.0×10^-19C、質(zhì)量m=8.0×10^-20kg的正離子從P點射入MN間，通過點Q（0.8m，0）后沿y軸正方向進入第一象限，最后打到熒光屏上的C點．不計離子的重力，求：
（1）高子通過Q點時速度的大�。�
（2）C點的縱坐標；
（3）若只改變AOx區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強度的大小，使離子都不能到達熒光屏上，則磁感應(yīng)強度的大小B₂應(yīng)滿足什么條件？（不考慮N板對離子的反射）

Answer 1

分析 （1）離子在復(fù)合場中做直線運動，受電場力和洛倫茲力平衡，結(jié)合平衡求出離子通過Q點的速度大�。�
（2）根據(jù)半徑公式求出離子在磁場中做圓周運動的半徑，作出離子的運動軌跡，得出圓心角，確定出離子在電場中做類平拋運動，結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式求出沿電場方向上的位移，根據(jù)幾何關(guān)系求出C點的縱坐標．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求出最大半徑，結(jié)合半徑公式求出磁感應(yīng)強度的最小值，從而得出磁感應(yīng)強度的范圍．

解答 解：（1）設(shè)從Q射出的離子的速度大小為v，有：
qE₁=qvB₁，
代入數(shù)據(jù)解得v=1.0×10⁶m/s．
（2）離子進入磁場做勻速圓周運動，由牛頓第二定律有：
$qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
代入數(shù)據(jù)解得r=0.4m．
作出離子的運動軌跡，交OA邊界于D，如圖所示．
可知圓弧QD的圓心角為90°，離子垂直電場線進入電場，離子在電場中做類平拋運動，
x=OO′=vt，
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
a=$\frac{q{E}_{2}}{m}$，
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得y=0.4m．
離子打到熒光屏上的位置C的縱坐標為y_C=（0.4+0.4）m=0.8m．
（3）只要離子能通過AO邊界進入電場E₂中，離子一定到達熒光屏上．由幾何關(guān)系可知，使離子不能到達y軸上的最大半徑
R_m+2R_msin45°=x_Q，
設(shè)最小的磁感應(yīng)強度大小為B₀，則
$qv{B}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{m}}$，
代入數(shù)據(jù)解得${B}_{0}=\frac{\sqrt{2}+1}{8}T$，
所以B₂應(yīng)滿足的條件${B}_{2}≥\frac{\sqrt{2}+1}{8}T$．
答：（1）離子通過Q點時速度的大小為1.0×10⁶m/s．
（2）C點的縱坐標為0.8m．
（3）磁感應(yīng)強度的大小B₂應(yīng)滿足${B}_{2}≥\frac{\sqrt{2}+1}{8}T$．

點評 本題考查了粒子在電場和磁場中運動，知道粒子在PQ間做勻速直線運動，對于粒子在磁場中的運動，會確定圓心、半徑、圓心角．掌握處理粒子做類平拋運動的方法，結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式進行求解．對于第三問，關(guān)鍵確定出臨界狀態(tài)，找出最大半徑．