Question

今年9月29日，天宮一號成功發(fā)射，標志著我國邁向了空間站時代．天官一號沿橢圓軌道運行，近地點離地面高度h₁=300km，遠地點離地高度h₂=347kn．若已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，求：（結(jié)果均用符號表示，不作數(shù)字計算）
（1）環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星的最小周期；
（2）天宮一號運行周期．

Answer 1

分析：（1）環(huán)繞地球近地面做勻速圓周運動的衛(wèi)星萬有引力提供向心力列出等式，在地球表面重力等于萬有引力列出等式，兩式結(jié)合求解．
（2）由開普勒第三定律

R3

T2

=K求得天宮一號運行周期．

解答：（解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，軌道半徑等于地球半徑的近地衛(wèi)星周期為T₁
在地球表面重力等于萬有引力列出等式，

GMm′

R2

=m′g                      ①
環(huán)繞地球近地面做勻速圓周運動的衛(wèi)星萬有引力提供向心力列出等式，

GMm

R2

=

m?4π2R

T 2 1

               ②
由①②解得T₁=2π

R g

               
（2）設(shè)天宮一號周期為T₂，天宮一號沿橢圓軌道運行，近地點離地面高度h₁=300km，遠地點離地高度h₂=347kn．
如果把天宮一號繞地球的運動看成是圓周運動，那么軌道半徑r≈

h1+h2

2

+R
由開普勒第三定律

R3

T2

=K得

T 2 1

T 2 2

=

R3

( h1+h2+2R 2 )3

解得   T₂=

π(h1+h2+2R)

R

h1+h2+2R 2g

            
答：（1）環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星的最小周期是2π

R g

；
（2）天宮一號運行周期是

π(h1+h2+2R)

R

h1+h2+2R 2g

．

點評：本題中隱含條件地球表面的重力等于萬有引力，根據(jù)萬有引力提供向心力，能寫出萬有引力和向心力的關(guān)系就能正常求解．