福建省師大附中2009屆高三年級(jí)第六次月考測(cè)試數(shù)學(xué)試卷(理)2009.3
姓名_________ 班級(jí)_________ 學(xué)號(hào)____
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,滿分50分,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1、復(fù)數(shù)的實(shí)部是( )
A. B. C.3 D.
2.設(shè),且,則銳角為( )
A. B. C. D.
3.棱長(zhǎng)為a的正方體中,連結(jié)相鄰面的中心,以這些線段為棱的八面體的體積為( )
A. B. C. D.
4.在等比數(shù)列( )
A. B. C、 D.
變量和的值依次是( )
A.2550,2500 B.2550,2550
C.2500,2500 D.2500,2550
6.設(shè),,表示三條直線,,,表示三個(gè)平面,給出下列四個(gè)命題:
①若⊥,⊥,則∥;
②若,是在內(nèi)的射影,⊥,則⊥;
③若,∥,則∥;
④若⊥,⊥,則∥. 其中真命題為( )
A.①② B.①②③ C.①②③④ D.③④
將函數(shù)軸對(duì)稱,則n的最小正值是( )
A. B. C. D.
8. 已知線性約束條件為:,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 ( )
A.
B.
9. 已知正整數(shù)a,b滿足
A.(4,14) B.(5,10) C.(6,6) D.(7,2)
10. 橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),則橢圓的離心率是
A. B. C. D.
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,滿分20分。
11.某校舉行2008年元旦匯演,七位評(píng)委為某班的小品打出的分?jǐn)?shù)(百分制)如下莖葉統(tǒng)計(jì)圖,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的中位數(shù)和方差分別為 __________.
12.如圖,某空間幾何體的主視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1,那么這個(gè)幾何體的體積為 .
13.已知函數(shù) 數(shù)列滿足,且是單調(diào)遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
14.用紅、黃、藍(lán)三種顏色之一去涂圖中標(biāo)號(hào)為
的9個(gè)小正方形(如圖),使得任意相鄰(有公共邊的)小正方形所涂顏色都不相同,且“3、5、
15.某同學(xué)在研究函數(shù) (R)
時(shí),分別給出下面幾個(gè)結(jié)論:
①等式在時(shí)恒成立; ②函數(shù) f (x) 的值域?yàn)?(-1,1);
③若x1≠x2,則一定有f (x1)≠f (x2); ④函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn).
其中正確結(jié)論的序號(hào)有 .(請(qǐng)將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)
三、解答題:本大題共5小題,共65分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
16.(本小題滿分13分)
設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列,為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知,且構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)令求數(shù)列的前項(xiàng)和.
17.(本小題滿分13分)
長(zhǎng)方體ABCD-A1B
ABCD的邊長(zhǎng)AB=
(1)求證:DE⊥平面BCE;
(2)求二面角E-BD-C的正切值。
18.(本小題滿分13分)
已知△ABC中,
(1)若,求△ABC是直角三角形的概率;
(2)若,求△ABC中B是鈍角的概率.
19. (本小題滿分13分)
在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P到兩點(diǎn)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C.
(1)寫出C的方程;
(2)設(shè)直線與C交于A,B兩點(diǎn).k為何值時(shí)?此時(shí)的值是多少?
20.(本小題滿分13分)
已知二次函數(shù).
(1)若,試判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)是否存在,使同時(shí)滿足以下條件
①對(duì)任意,且;
②對(duì)任意,都有。
若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
(3)若對(duì)任意且,試證明存在,使成立。
21.選考題:請(qǐng)考生在第(1)、(2)、(3)題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題記分。本題滿分14分.
(1). 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題7分)
設(shè)方程,(θ為參數(shù)).表示的曲線為C,
(1)求曲線C上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的最小值;
(2)點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)|OP|最小時(shí)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),寫出OP的參數(shù)方程并用直線參數(shù)方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。
(2).選修4―2 矩陣與變換(本小題7分)
二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1,-1)與(-2,1)分別變換成點(diǎn)(-1,-1)與(0,-2).
(1)求矩陣M;
(2)設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m:x-y=4,求l的方程.
(3)(不等式證明選講)若,證明 。
一、選擇題
1.B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.A
7.A 8.D 9.B 10.D
二、填空題
11.86;1.6;12.1/6 13.( 4,8) 14.108 15.(1),(2),(3)
三、解答題
16.解:(1)由已知得 解得.設(shè)數(shù)列的公比為,
由,可得.又,可知,
即,
解得. 由題意得. .
故數(shù)列的通項(xiàng)為.……………………………6分
(2)由于 由(1)得
= ……………..13分
17.(1)∵=a, AB=
E為的中點(diǎn)。
∴,
DE⊥CE……(2分)
又∵∴DE⊥EB ,而
∴DE⊥平面BCE…(6分)
(2) 取DC的中點(diǎn)F,則EF⊥平面BCD,作FH⊥BD于H,連EH,則∠EHF就是二面角E-BD-C的一個(gè)平面角!8分)
由題意得 EF=a,在Rt△ 中,…………(10分)
∴∠EHF=.……………………………………………(13分)
18.解:由已知,得,
(1)若,。若A是直角,則k=-2;若B是直角,則
k(2-k)+3=0, k=-1,k=3;若C是直角,則2(2-k)+12=0,k=8.故m=3,△ABC是直角三角形的概率為
(2)若,且k≠.區(qū)間長(zhǎng)度L=6.若B是鈍角,則-k(2-k)-3<0, -1<k<3,L′=4. △ABC中B是鈍角的概率
k(2-k)+3=0, k=-1,k=3;若C是直角,則2(2-k)+12=0,k=8.故m=3,△ABC是直角三角形的概率為.
求△ABC是直角三角形的概率.
19.解:(Ⅰ)設(shè)P(x,y),由橢圓定義可知,點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn),
長(zhǎng)半軸為2的橢圓.它的短半軸,
故曲線C的方程為.????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
(Ⅱ)設(shè),其坐標(biāo)滿足
消去y并整理得,
故.??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
,即.而,
于是.
所以時(shí),,故.???????????????????????????????????????????????????????? 8分
當(dāng)時(shí),,.
,
而,
所以. 13分
20.解:(1)
當(dāng)時(shí),
函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。…….3分
(2)假設(shè)存在,由①知拋物線的對(duì)稱軸為x=-1,∴即
由②知對(duì),都有
令得又因?yàn)?sub>恒成立,
,即,即
由得,
當(dāng)時(shí),,其頂點(diǎn)為(-1,0)滿足條件①,又對(duì),都有,滿足條件②。
∴存在,使同時(shí)滿足條件①、②!..8分
(3)令,則
,
在內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根。即,使成立!.13分
21.(1)1; (2)
(2)(1)設(shè)M=,則有=,=,
所以且 解得,所以M=.…………………………5分
(2)任取直線l上一點(diǎn)P(x,y)經(jīng)矩陣M變換后為點(diǎn)P’(x’,y’).
因?yàn)?sub>,所以又m:,
所以直線l的方程(x+2y)-(3x+4y)=4,即x+y+2=0.………………………………7分
.
不等式證明選講)若,證明 。
柯西不等式一步可得
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