東北三省四市長春、哈爾濱、沈陽、大連第一次聯(lián)合考試

數(shù)    學(xué)(理科)

    本試卷分為第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁，試卷滿分150分，

做題時間為120分鐘．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．

注意事項：

    1．答題前，考生必須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形

       碼區(qū)域內(nèi)．

    2．選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，

       字體工整、筆跡清楚．

    3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草

       稿紙、試題卷上答題無效．

    4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀．

第I卷(選擇題，共60分)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分。共60分，在每小題的四個選項中。只有一項是符合題目要求的。請將正確選項填涂在答題卡上)

1．復(fù)數(shù)，則

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A．1        B．2         C．        D．5

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2．已知集合，，則

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   A．       B．(1，3)     C．(1，)    D．(3，)

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3．已知、為兩條直線，、為兩個平面，下列四個命題①∥，∥∥；②∥； ③∥，∥∥；④∥，其中不正確的有

   A．1個        B．2個        C．3個        D．4個

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4．在中，、分別是角、所對的邊，條件“<”是使“>”成立的

   A．充分不必要條件            B．必要不充分條件

   C．充要條件                  D．既不充分也不必要條件   

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5．已知數(shù)列滿足，則

   A．1024        B．1023        C．2048       D．2047

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6．過點P(2，3)向圓上作兩條切線PA、PB，則弦AB所在直線方程為

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A．         B．

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   C．          D．

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7．將函數(shù)的圖象經(jīng)過下列哪種變換可以得到函數(shù)的圖象

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   A．先向左平移個單位，然后再沿軸將橫坐標(biāo)壓縮到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)

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   B．先向左平移個單位，然后再沿軸將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)

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   C．先向左平移個單位，然后再沿軸將橫坐標(biāo)壓縮到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)

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   D．先向左平移個單位，然后再沿軸將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)

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8．已知實數(shù)、滿足，則的最大值為

   A．1       B．2        C．8        D．9

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9．四張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字“2”、“0”、“0”、“9”，其中“9”可當(dāng)“6”用，則由這四張卡

片可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為

   A．6       B．12       C．18       D．24

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10．函數(shù)在處連續(xù),則=

    A．0      B．1        C．一1      D．2

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11．已知是上的可導(dǎo)函數(shù)，對于任意的正實數(shù)，都有函數(shù)

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在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能為下圖中

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12．定長為的線段的兩端點都在雙曲線的右支上，則中點的橫坐標(biāo)的最小值為

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A．     B．     C．     D．

 

 

 

第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)

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二、填空題(本大題共4小題，每小題5分。共20分．把正確答案填在答題卡中的橫線上)

13．正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為              .

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14．已知=(3，2)，=(一1，2)，上，則實數(shù)             .

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15．,則          .

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16．已知，且，則關(guān)于三個數(shù)：；

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  ；的大小關(guān)系說法：①最大；②最��；③最小；④與大小不能確定，其中正確的有         

  (將你認為正確說法前面的序號填上)．

 

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三、解答題(本大題共6小題。共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17．(本小題滿分10分)

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    已知函數(shù)．

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    (1)求函數(shù)的最小正周期；

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(2)求函數(shù)的值域．

 

 

 

 

 

 

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18．(本小題滿分12分)

某次搖獎活動，搖獎機內(nèi)有大小相同，顏色分別為紅、黃、藍、黑的4種玻璃球各4個，每次按下?lián)u獎機開關(guān)，可隨機搖出10個球，按同色球的數(shù)目由多到少順序產(chǎn)生一個四位號碼，例如：由3個紅球，1個黃球，2個藍球，4個黑球產(chǎn)生的號碼為4321；若是2個紅球，3個黃球，3個藍球，2個黑球，則號碼為3322，兌獎規(guī)則如下：一等獎號碼為4420，可獲獎金88元；二等獎號碼為4411，可獲獎金8元；三等獎號碼為4330，可獲獎金l元；其余號碼則需付費2元．

    (1)求搖獎一次中獎的概率；

(2)求搖獎一次莊家獲利金額的期望值．(最終結(jié)果均用最簡分數(shù)表示)

 

 

 

 

 

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19．(本小題滿分12分)

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    如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，    ，且，側(cè)面    底面，是等邊三角形．

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    (1)求證：；

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(2)求二面角的大小．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20．(本小題滿分12分)

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  已知為坐標(biāo)原點，點、分別在軸、軸上運動，且，動點滿足，設(shè)點的軌跡為曲線，定點，直線交曲線于另外一點．

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  (1)求曲線的方程；

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  (2)求面積的最大值．

 

 

 

 

 

 

 

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21．(本小題滿分12分)

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    設(shè)為數(shù)列的前項之積，滿足．

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    (1)設(shè)，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求和；

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(2)設(shè)求證：．

 

 

 

 

 

 

 

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22．(本小題滿分12分)

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設(shè)

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(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；

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(2)是否存在實數(shù)、使得關(guān)于的不等式在(0，)上恒成立，若存在，

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求出的取值范圍，若不存在，試說明理由；

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(3)求證： (其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

 

 

 

 

 

東北三省四市長春、哈爾濱、沈陽、大連第一次聯(lián)合考試

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說明：

    一、本解答給出一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題

的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細則．

    二、對計算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的

內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如

果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

    三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得累加分．

    四、只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分數(shù)．

一、選擇題(每小題5分，滿分60分)

1．C   2．D   3．D   4．C   5．B   6．B   7．A   8．D   9．B   10．B  11．A  12．C

簡答與提示：

1．，故選C.

2．∵

   ∴，故選D．

3．因為四個命題均有線在面內(nèi)的可能，所以均不正確，故選D．

4．，故選C．

5．利用疊加法及等比數(shù)列求和公式，可求得，故選B.

6．以為直徑的圓與圓的公共弦即為所求，直線方程為，故

選B．

7．，將的圖象先向左平移個單位得到

的圖象，再沿軸將橫坐標(biāo)壓縮到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得到的圖象，故選A．

8．在點(0，一1)處目標(biāo)函數(shù)取得最大值為9，故選D．

9．先在后三位中選兩個位置填兩個數(shù)字“0”有種填法，再排另兩張卡片有種排

   法，再決定用數(shù)字“9”還是“6”有兩種可能，所以共可排成個四位數(shù)，

   故選B．

10．依題意，∴，故選B．

11．因為函數(shù)在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以

恒成立，即為減函數(shù)(切線斜率減小)，故選A．

12．，

∵，∴，當(dāng)A、F、B

三點共線時取得最小值，故選C．

二、填空題(每題5分．共20分}

  13．3      14．      15．28      16．①③

  簡答與提示：

  13．∵V正四面體 ，∴.

  14．∵，∴，∴．

  15．∵，

    ∴，∴．

  16．∵，

      ∴，

      ∵，

      ∴，故①③正確．

三、解答題(滿分70分)

  17．本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)圖象及性質(zhì)．

      解：(1)∵

                    (4分)

             ∴．

          (2)當(dāng)，即時，，       ，    (6分)

             當(dāng)，即，，

             ∴函數(shù)的值域為[，1]．                              (10分)

  18．本小題主要考查概率的基本知識與分類思想，考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題解決問題的

能力．

      解．(1)中一等獎的概率為，                         (2分)

            中二等獎的概率為，                          (4分)

中三等獎的概率為，                       (6分)

∴搖獎一次中獎的概率為                    (7分)

(2) 由(1)可知，搖獎一次不中獎的概率為            (9分)

            設(shè)搖獎一次莊家所獲得的金額為隨機變量，則隨機變量的分布列為：

            ∴

∴搖獎一次莊家獲利金額的期望值為元                      (12分)

19．本小題主要考查空間線面位置關(guān)系、異面直線所成角、二面角等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力以及空間向量的應(yīng)用．

解法一：(1)證明：

               取中點為，連結(jié)、，

               ∵△是等邊三角形，

               ∴

               又∵側(cè)面底面，

               ∴底面，

               ∴為在底面上的射影，

               又∵，

               ，

               ∴，

                ∴，

                ∴，

                ∴．

(2)取中點，連結(jié)、，                            (6分)

                ∵．

                ∴．

                又∵，，

                ∴平面，

∴，

∴是二面角的平面角.                     (9分)

∵，，

∴．

∴，

∴，

∴，

∴二面角的大小為                           (12分)

解法二：證明：(1) 取中點為，中點為，連結(jié)，

                ∵△是等邊三角形，

∴，

又∵側(cè)面底面，

∴底面，

∴以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系

如圖，    (2分)

∵，△是等邊三角形，

∴，

∴．

∴．

∵

∴．

(2)設(shè)平面的法向量為

   ∵

   ∴

令，則，∴               (8分)

設(shè)平面的法向量為，              

∵，

∴，

令，則，∴         (10分)

∴，

∴，

                ∴二面角的大小為.                          (12分)

20．本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查軌跡的求法以及綜合解題能力

解：(1)設(shè)，則

    ∵,∴，∴，               (3分)

又，∴

∴曲線的方程為                                     (6分)

(2)由(1)可知，

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