東北三省四市長春、哈爾濱、沈陽、大連第一次聯(lián)合考試
數(shù) 學(xué)(理科)
本試卷分為第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共4頁,試卷滿分150分,
做題時間為120分鐘.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回.
注意事項:
1.答題前,考生必須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形
碼區(qū)域內(nèi).
2.選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,
字體工整、筆跡清楚.
3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草
稿紙、試題卷上答題無效.
4.保持卡面清潔,不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.
第I卷(選擇題,共60分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分。共60分,在每小題的四個選項中。只有一項是符合題目要求的。請將正確選項填涂在答題卡上)
1.復(fù)數(shù),則
A.1 B.
2.已知集合,,則
A. B.(1,3) C.(1,) D.(3,)
3.已知、為兩條直線,、為兩個平面,下列四個命題①∥,∥∥;②∥; ③∥,∥∥;④∥,其中不正確的有
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
4.在中,、分別是角、所對的邊,條件“<”是使“>”成立的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.已知數(shù)列滿足,則
A.1024 B.
6.過點P(2,3)向圓上作兩條切線PA、PB,則弦AB所在直線方程為
A. B.
C. D.
7.將函數(shù)的圖象經(jīng)過下列哪種變換可以得到函數(shù)的圖象
A.先向左平移個單位,然后再沿軸將橫坐標(biāo)壓縮到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)
B.先向左平移個單位,然后再沿軸將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)
C.先向左平移個單位,然后再沿軸將橫坐標(biāo)壓縮到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)
D.先向左平移個單位,然后再沿軸將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)
8.已知實數(shù)、滿足,則的最大值為
A.1 B.
9.四張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字“
片可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為
A.6 B.
10.函數(shù)在處連續(xù),則=
A.0
B.
11.已知是上的可導(dǎo)函數(shù),對于任意的正實數(shù),都有函數(shù)
在其定義域內(nèi)為減函數(shù),則函數(shù)的圖象可能為下圖中
12.定長為的線段的兩端點都在雙曲線的右支上,則中點的橫坐標(biāo)的最小值為
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分。共20分.把正確答案填在答題卡中的橫線上)
13.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為 .
14.已知=(3,2),=(一1,2),上,則實數(shù) .
15.,則 .
16.已知,且,則關(guān)于三個數(shù):;
;的大小關(guān)系說法:①最大;②最;③最小;④與大小不能確定,其中正確的有
(將你認為正確說法前面的序號填上).
三、解答題(本大題共6小題。共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分10分)
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)求函數(shù)的值域.
18.(本小題滿分12分)
某次搖獎活動,搖獎機內(nèi)有大小相同,顏色分別為紅、黃、藍、黑的4種玻璃球各4個,每次按下?lián)u獎機開關(guān),可隨機搖出10個球,按同色球的數(shù)目由多到少順序產(chǎn)生一個四位號碼,例如:由3個紅球,1個黃球,2個藍球,4個黑球產(chǎn)生的號碼為4321;若是2個紅球,3個黃球,3個藍球,2個黑球,則號碼為3322,兌獎規(guī)則如下:一等獎號碼為4420,可獲獎金88元;二等獎號碼為4411,可獲獎金8元;三等獎號碼為4330,可獲獎金l元;其余號碼則需付費2元.
(1)求搖獎一次中獎的概率;
(2)求搖獎一次莊家獲利金額的期望值.(最終結(jié)果均用最簡分數(shù)表示)
19.(本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形, ,且,側(cè)面 底面,是等邊三角形.
(1)求證:;
(2)求二面角的大小.
20.(本小題滿分12分)
已知為坐標(biāo)原點,點、分別在軸、軸上運動,且,動點滿足,設(shè)點的軌跡為曲線,定點,直線交曲線于另外一點.
(1)求曲線的方程;
(2)求面積的最大值.
21.(本小題滿分12分)
設(shè)為數(shù)列的前項之積,滿足.
(1)設(shè),證明數(shù)列是等差數(shù)列,并求和;
(2)設(shè)求證:.
22.(本小題滿分12分)
設(shè)
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)是否存在實數(shù)、使得關(guān)于的不等式在(0,)上恒成立,若存在,
求出的取值范圍,若不存在,試說明理由;
(3)求證: (其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
東北三省四市長春、哈爾濱、沈陽、大連第一次聯(lián)合考試
說明:
一、本解答給出一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題
的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細則.
二、對計算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時,如果后續(xù)部分的解答未改變該題的
內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定給分,但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半;如
果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤,就不再給分.
三、解答右端所注分數(shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得累加分.
四、只給整數(shù)分數(shù),選擇題和填空題不給中間分數(shù).
一、選擇題(每小題5分,滿分60分)
1.C 2.D 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A 8.D 9.B 10.B 11.A 12.C
簡答與提示:
1.,故選C.
2.∵
∴,故選D.
3.因為四個命題均有線在面內(nèi)的可能,所以均不正確,故選D.
4.,故選C.
5.利用疊加法及等比數(shù)列求和公式,可求得,故選B.
6.以為直徑的圓與圓的公共弦即為所求,直線方程為,故
選B.
7.,將的圖象先向左平移個單位得到
的圖象,再沿軸將橫坐標(biāo)壓縮到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得到的圖象,故選A.
8.在點(0,一1)處目標(biāo)函數(shù)取得最大值為9,故選D.
9.先在后三位中選兩個位置填兩個數(shù)字“
法,再決定用數(shù)字“
故選B.
10.依題意,∴,故選B.
11.因為函數(shù)在其定義域內(nèi)為減函數(shù),所以
恒成立,即為減函數(shù)(切線斜率減小),故選A.
12.,
∵,∴,當(dāng)A、F、B
三點共線時取得最小值,故選C.
二、填空題(每題5分.共20分}
13.3 14. 15.28 16.①③
簡答與提示:
13.∵V正四面體 ,∴.
14.∵,∴,∴.
15.∵,
∴,∴.
16.∵,
∴,
∵,
∴,故①③正確.
三、解答題(滿分70分)
17.本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)圖象及性質(zhì).
解:(1)∵
(4分)
∴.
(2)當(dāng),即時,, , (6分)
當(dāng),即,,
∴函數(shù)的值域為[,1]. (10分)
18.本小題主要考查概率的基本知識與分類思想,考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題解決問題的
能力.
解.(1)中一等獎的概率為, (2分)
中二等獎的概率為, (4分)
中三等獎的概率為, (6分)
∴搖獎一次中獎的概率為 (7分)
(2) 由(1)可知,搖獎一次不中獎的概率為 (9分)
設(shè)搖獎一次莊家所獲得的金額為隨機變量,則隨機變量的分布列為:
∴
∴搖獎一次莊家獲利金額的期望值為元 (12分)
19.本小題主要考查空間線面位置關(guān)系、異面直線所成角、二面角等基本知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力以及空間向量的應(yīng)用.
解法一:(1)證明:
取中點為,連結(jié)、,
∵△是等邊三角形,
∴
又∵側(cè)面底面,
∴底面,
∴為在底面上的射影,
又∵,
,
∴,
∴,
∴,
∴.
(2)取中點,連結(jié)、, (6分)
∵.
∴.
又∵,,
∴平面,
∴,
∴是二面角的平面角. (9分)
∵,,
∴.
∴,
∴,
∴,
∴二面角的大小為 (12分)
解法二:證明:(1) 取中點為,中點為,連結(jié),
∵△是等邊三角形,
∴,
又∵側(cè)面底面,
∴底面,
∴以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系
如圖, (2分)
∵,△是等邊三角形,
∴,
∴.
∴.
∵
∴.
(2)設(shè)平面的法向量為
∵
∴
令,則,∴ (8分)
設(shè)平面的法向量為,
∵,
∴,
令,則,∴ (10分)
∴,
∴,
∴二面角的大小為. (12分)
20.本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識,考查軌跡的求法以及綜合解題能力
解:(1)設(shè),則
∵,∴,∴, (3分)
又,∴
∴曲線的方程為 (6分)
(2)由(1)可知,
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