西南師大附中高2009級(jí)第七次月考
數(shù) 學(xué) 試 題(文)
2009年4月
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.共150分,考試時(shí)間120分鐘.
一、選擇題:本大題共10小題,每題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 甲校有3600名學(xué)生,乙校有5400名學(xué)生,丙校有1800名學(xué)生,為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況,計(jì)劃采用分層抽樣法,抽取一個(gè)容量為90的樣本,應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生( )
A.30人,30人,30人 B.30人,45人,15人
C.20人,30人,10人 D.30人,50人,10人
2. “x > 0,y >
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3. 已知,則=( )
A. B. C. D.
4. 已知函數(shù),則的最大值是( )
A.8 B.
5. 函數(shù)的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為( )
A. B. C. D.
6. 設(shè)等比數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和為Sn,已知S3 = 8,S6 = 7,則a7 + a8 + a9等于( )
A. B. C. D.
7. 平面上的向量滿足,若向量,則的最大值為( )
A. B. C. D.
8. 已知方程組有兩組不同的解,則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是( )
A.(1,121) B.(1,) C.(0,) D.(0,121)
9. 反復(fù)拋擲一個(gè)骰子,依次記錄下每一次拋擲落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù),當(dāng)記有三個(gè)不同點(diǎn)數(shù)時(shí)即停止拋擲,若拋擲五次恰好停止,則記有這五次點(diǎn)數(shù)的所有不同記錄結(jié)果的種數(shù)有( )
A.360種 B.840種 C.600種 D.1680種
10. 已知P是橢圓上的一點(diǎn),F(xiàn)1、F2是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若△PF
A. B. C. D.0
二、填空題:本大題共5小題,每題5分,共25分.
11. 已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則a = .
12. 在的展開式中,x7的系數(shù)是15,則實(shí)數(shù)a = _______________.
13. 若A為不等式組表示的平面區(qū)域,則當(dāng)a從? 2 連續(xù)變化到1時(shí),動(dòng)直線掃過A中的那部分區(qū)域的面積為_______________.
14. 已知三棱錐S―ABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為r的球面上,球心O在AB上,SO⊥底面ABC,,則三棱錐的體積與球的體積之比是_______________.
15. 以下四個(gè)命題:
①△ABC中,A > B的充要條件是;
②等比數(shù)列{an}中,a1 = 1,a5 = 16,則;
③把函數(shù)的圖像向右平移2個(gè)單位后得到的圖像對(duì)應(yīng)的解析式為
其中正確的命題的序號(hào)是_______________.
三、解答題:本題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16. (本小題滿分13分)
已知A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角,向量m =,n =,且m?n = 1.
(1) 求角A;
(2) 若,求的值.
17. (本小題滿分13分)
甲、乙兩支籃球隊(duì)進(jìn)行比賽,已知每一場甲隊(duì)獲勝的概率為0.6,乙隊(duì)獲勝的概率為0.4,每場比賽均要分出勝負(fù),比賽時(shí)采用三場兩勝制,即先取得兩場勝利的球隊(duì)勝出.
(1) 求甲隊(duì)以二比一獲勝的概率;
(2) 求乙隊(duì)獲勝的概率.
18. (本小題滿分13分)
設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且函數(shù)的圖像在x = 1處的切線方程為.
(1) 求a、b、c的值;
(2) 若對(duì)任意都有成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
19. (本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐P―ABCD中,底面ABCD是直角梯形,,且,側(cè)面底面,△PAB是等邊三角形.
(1) 求證:;
(2) 求二面角的大。
20. (本小題滿分12分)
設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意的,Sn是和an的等差中項(xiàng).
(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2) 在集合中,是否存在正整數(shù)m,使得不等式對(duì)一切滿足n > m的正整數(shù)n都成立?若存在,則這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)?并求出滿足條件的最小正整數(shù)m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
21. (本小題滿分12分)
設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn),點(diǎn)N(1,3)是線段AB的中點(diǎn),線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).
(1) 確定的取值范圍,并求直線AB的方程;
(2) 求以線段CD的中點(diǎn)M為圓心且與直線AB相切的圓的方程.
西南師大附中高2009級(jí)第七次月考
2009年4月
一、選擇題:本大題共10小題,每題5分,共50分.
1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 8.A 9.B 10.B
二、填空題:本大題共5小題,每題5分,共25分.
11.4 12. 13.
14. 15.①
三、解答題:本題共6小題,共75分.
16.解:(1)
∴
∵
∴
∴
(2)
∴
∴
∴
∴
17.解:(1) 甲隊(duì)以二比一獲勝,即前兩場中甲勝1場,第三場甲獲勝,其概率為
(2) 乙隊(duì)以2∶0獲勝的概率為;
乙隊(duì)以2∶1獲勝的概率為
∴乙隊(duì)獲勝的概率為P2=P'2+P''2=0.16+0.192=0.352.
18.解:(1) ∵ 函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),
∴
∵ ∴ .
又在處的切線方程為,
由
∴ ,且, ∴ 得
(2)
依題意對(duì)任意恒成立,
∴ 對(duì)任意恒成立,即對(duì)任意恒成立,
∴ .
19.解法一:(1) 證明:取中點(diǎn)為,連結(jié)、,
∵△是等邊三角形, ∴
又∵側(cè)面底面,
∴底面,
∴為在底面上的射影,
又∵,
,
∴, ∴,
∴, ∴.
(2) 取中點(diǎn),連結(jié)、,
∵. ∴.
又∵,,
∴平面,∴,
∴是二面角的平面角.
∵,,
∴.
∴,∴,∴,
∴二面角的大小為
解法二:證明:(1) 取中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,連結(jié),
∵△是等邊三角形,∴,
又∵側(cè)面底面,∴底面,
∴以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系
如圖,
∵,△是等邊三角形,
∴,
∴.
∴.
∵ ∴.
(2) 設(shè)平面的法向量為
∵ ∴
令,則,∴
設(shè)平面的法向量為,
∵,∴,
令,則,∴
∴,
∴, ∴二面角的大小為.
20.解:(1) 由題意得, ①,
當(dāng)時(shí),,解得,
當(dāng)時(shí),有 ②,
①式減去②式得,
于是,,,
因?yàn)?sub>,所以,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,
所以的通項(xiàng)公式為().
(2) 設(shè)存在滿足條件的正整數(shù),則,,,
又,,…,,,,…,,
所以,,…,均滿足條件,
它們組成首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.……(8分)
設(shè)共有個(gè)滿足條件的正整數(shù),則,解得.(10分)
所以,中滿足條件的正整數(shù)存在,共有個(gè),的最小值為.(12分)
21.(Ⅰ)法1:依題意,顯然的斜率存在,可設(shè)直線的方程為
,
整理得 . ①
設(shè)是方程①的兩個(gè)不同的根,
∴, ②
且,由是線段的中點(diǎn),得
,∴.
解得,代入②得,的取值范圍是(12,+∞).
于是,直線的方程為,即
法2:設(shè),,則有
依題意,,∴.
∵是的中點(diǎn),∴,,從而.
又由在橢圓內(nèi),∴,
∴的取值范圍是.
直線的方程為,即.
(2) ∵垂直平分,∴直線的方程為,即,
代入橢圓方程,整理得. ③
又設(shè),的中點(diǎn)為,則是方程③的兩根,
∴.
到直線的距離,
故所求的以線段的中點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的方程為:
.
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