雅禮中學2008屆高三第八次質檢數(shù)學（文科）試卷

 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試時量120分鐘.

第Ⅰ卷（選擇題）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知集合，則是的    （   ）

       A  充分而不必要條件                             B  必要而不充分條件

       C  充要條件                                           D  既不充分也不必要條件

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2．下列函數(shù)中周期為1的奇函數(shù)是                                            （   ）

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A                   B     

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C                        D 

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3．下列不等式中恒成立的個數(shù)有                                                                           （   ）

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       ①                                 ②

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       ③             ④

       A  4                        B  3                        C  2                        D  1

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4．25人排成5×5方陣，從中選出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，則不同的選出方法種數(shù)為                      （   ）

       A  600                        B  300                        C  100                        D  60

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5．已知的前n項和                 （   ）

A  67                 B  65                C  6l                  D  56

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6．對于平面直角坐標系內任意兩點（，）、（，），定義它們之間的一種“距離”：‖‖=??+??．給出下列三個命題：

①若點C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

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②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．

其中真命題的個數(shù)為                                                       （   ）

A  0                B  1                 C  2             D  3

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7．如圖,設O點在內部,且有,則的面積與的面積的比為                                                              （   ）

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A  2             B              

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C  3             D   

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8． 已知點P 是拋物線上一點，設點P到此拋物線準線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是                           （   ）

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    A  5              B  4                 C              D

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    A 

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    B 

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    C 

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    D 

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    10．一個正方體，它的表面涂滿了紅色.在它的每個面上切兩刀，可得27個小立方塊，從中任取2個，其中恰有1個一面涂有紅色，1個兩面涂有紅色的概率為              （   ）

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    A．                         B．                  C．                   D．

     

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    二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.

    11．某校為了了解高三年級學生的身體狀況，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從全年級600名學生中抽取60名進行體檢，如果在抽取的學生中有男生36名，則在高三年級中共有女生    名．

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    12．若對任意實數(shù)都有    ，則      

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    13．通過兩個定點 且在軸上截得的弦長等于的圓的方程是     

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    14．已知平面α、β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③；④α⊥β；⑤α∥β.

    （i）當滿足條件          時，m∥β；

    （ii）當滿足條件       時，m⊥β　 （注意：只要填條件中的序號）

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    15．對于函數(shù)

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    （i）若，則=___  __;

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    （ii）若有六個不同的單調區(qū)間，則a的取值范圍為        .

     

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    三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

    16．（本小題滿分12分）

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    已知△ABC的三邊成等比數(shù)列，且，

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    （Ⅰ）求；                 

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    （Ⅱ）求的面積。

     

     

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    17．（本小題滿分12分）

    某車間在兩天內，每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天分別生產(chǎn)出了1件、2件次品，而質檢部每天要從生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當天的產(chǎn)品不能通過．

    （Ⅰ）求兩天全部通過檢查的概率；

    （Ⅱ）求恰有一天通過檢查的概率．

     

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    18．（本小題滿分12分）

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    如圖，等腰直角△中，，平面，∥，.

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    （Ⅰ）求二面角的大小；

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    （Ⅱ）求點到平面的距離；

     

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    19．（本小題滿分13分）

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    我們把數(shù)列叫做數(shù)列的k方數(shù)列（其中an>0，k，n是正整數(shù)），S（k，n）表示k方數(shù)列的前n項的和。

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    （Ⅰ）若的1方數(shù)列、2方數(shù)列都是等差數(shù)列，a1=a，求的k方數(shù)列通項公式。

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    （Ⅱ）對于常數(shù)數(shù)列an=1，具有關于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，請你對數(shù)列的k方數(shù)列進行研究，寫出一個不是常數(shù)數(shù)列的k方數(shù)列關于S（k，n）的恒等式，并給出證明過程。

     

     

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    20．（本小題滿分13分）

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    如圖，設是橢圓的左焦點，直線為對應的準線，直線與軸交于點，線段為橢圓的長軸，已知，且．

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    （Ⅰ）求證：對于任意的割線，恒有；

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    （Ⅱ）求三角形△ABF面積的最大值．

     

     

     

     

     

     

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    21．（本小題滿分13分）

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    設定義在上的函數(shù)（）

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    當時，取極大值且函數(shù)圖象關于點對稱

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    （Ⅰ）求的表達式；

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    （Ⅱ）試在函數(shù)的圖象上求兩點使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在上；

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    （Ⅲ）設，求證：

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    一、選擇題：

    ADBAA    BCCDC

    二、填空題：

    11． ；        12． ；      13．

    14（i）  ③⑤     （ii）  ②⑤         15．（i）7;     （ii）.

    三、解答題：

    16.解：（Ⅰ）

                                                                    …………5分

    由成等比數(shù)列，知不是最大邊

                                                        …………6分

    （Ⅱ）由余弦定理

    得ac=2                                                                                                        …………11分

    =                                                                          …………12分

    17．解：（Ⅰ）第一天通過檢查的概率為，       ………………………２分

    第二天通過檢查的概率為，                  …………………………４分

    由相互獨立事件得兩天全部通過檢查的概率為．        ………………６分

    （Ⅱ）第一天通過而第二天不通過檢查的概率為，    …………８分

    第二天通過而第一天不通過檢查的概率為，      ………………10分

    由互斥事件得恰有一天通過檢查的概率為．     ……………………12分

     

    18．解：方法一

    （Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

    在△中，，，，

    由余弦定理有

    ，

    所以二面角的大小是.                              （6分）

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.

    故.                              …（12分）

     

    19．解：（Ⅰ）設

    則   ……①

         ……②

    ∴②－①得  2d2=0，∴d=p=0

    ∴                                            …………6分

    （Ⅱ）當an=n時，恒等式為[S（1，n）]2=S（3，n）

    證明：

    相減得：

    ∴

    相減得：

    又

    又

    ∴                                         ………………………………13分

    20．解：（Ⅰ）∵，∴，

    又∵，∴，

    ∴，

    ∴橢圓的標準方程為．                                      ………（3分）

    當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，

    當的斜率不為0時，設方程為，

    代入橢圓方程整理得：．

    ，，．

    則

              ，

    而

    ∴，從而．

    綜合可知：對于任意的割線，恒有．                ………（8分）

    （Ⅱ），

    即：，

    當且僅當，即（此時適合于的條件）取到等號．

    ∴三角形△ABF面積的最大值是．                 ………………………………（13分）

     

    21．解：（Ⅰ）              ……………………………………………4分

    （Ⅱ）或者……………………………………………8分

    （Ⅲ）略                                        ……………………………………13分

     

     

     

    雅禮中學08屆高三第八次質檢數(shù)學（文科）試題參考答案

     

    一、選擇題：

    ADBAA    BCCDC

     

    二、填空題：

    11． ；        12． ；      13．

    14（i）  ③⑤     （ii）  ②⑤         15．（i）7;     （ii）.

     

    三、解答題：

     

    16.解：（Ⅰ）

                                                                    …………5分

    由成等比數(shù)列，知不是最大邊

                                                        …………6分

    （Ⅱ）由余弦定理

    得ac=2                                                                                                        …………11分

    =                                                                          …………12分

     

    17．解：（Ⅰ）第一天通過檢查的概率為，       ………………………２分

    第二天通過檢查的概率為，                  …………………………４分

    由相互獨立事件得兩天全部通過檢查的概率為．        ………………６分

    （Ⅱ）第一天通過而第二天不通過檢查的概率為，    …………８分

    第二天通過而第一天不通過檢查的概率為，      ………………10分

    由互斥事件得恰有一天通過檢查的概率為．     ……………………12分

     

     

     

     

     

    18．解：方法一

    （Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

    在△中，，，，

    由余弦定理有

    ，

     

    所以二面角的大小是.                              （6分）

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.

    故.                              …（12分）

     

    19．解：（Ⅰ）設

    則   ……①

         ……②

    ∴②－①得  2d2=0，∴d=p=0

    ∴                                            …………6分

    （Ⅱ）當an=n時，恒等式為[S（1，n）]2=S（3，n）

    證明：

    相減得：

    ∴

    相減得：

    又

    又

    ∴                                         ………………………………13分

     

    20．解：（Ⅰ）∵，∴，

    又∵，∴，

    ∴，

    ∴橢圓的標準方程為．                                      ………（3分）

    當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，

    當的斜率不為0時，設方程為，

    代入橢圓方程整理得：．

    ，，．

    則

              ，

    而

    ∴，從而．

    綜合可知：對于任意的割線，恒有．                ………（8分）

    （Ⅱ），

    即：，

    當且僅當，即（此時適合于的條件）取到等號．

    ∴三角形△ABF面積的最大值是．                 ………………………………（13分）

     

    21．解：（Ⅰ）              ……………………………………………4分

    （Ⅱ）或者……………………………………………8分

    （Ⅲ）略                                        ……………………………………13分


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