2008年福州市高三第二次質檢

數學(理科)試卷

 

(考試時間：120分鐘；滿分150分)

 

注意事項：

1.本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請在答題卷的密封線內填寫學校、班級、學號、姓名；

2.本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．

如果事件A、B相互獨立，那么P（A?B）＝P（A）?P（B）．

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么它在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率.

球的表面積公式,其中R表示球的半徑.

球的表體積公式,其中R表示球的半徑.

第Ⅰ卷 （選擇題  共60分）

一.選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題所給的四個答案中有且只有一個答案是正確的）

1．若為實數，則復數有可能等于（　�。�.

A．     B．       C．        D．

2．已知集合，，則（    ）.

A．           　B．           　C．            　D．

3.  函數的反函數是（　　）.

A．                B．

C．                D．

4. 直角坐標系中，，若三角形是直角三角形，則的可能值的個數是（　�。�

    Ａ．1             Ｂ．2             Ｃ．3             Ｄ．4

 

5. 不等式的解集為，則函數的圖象大致為（   ）

 

 

 

          A                                 B                         C                              D

6. 已知首項為正數的等差數列滿足: ,,則使其前

n項和成立的最大自然數n是（　�。�.

    A. 4017        B.4014       C. 4016          D.4018

7. 已知a,b,c為三條不同的直線，且a平面M，b平面N，M∩N =c ．①若a不垂直于c，則a與b一定不垂直；②若a//b，則必有a//c；③若a⊥b，a⊥c則必有M⊥N以上的命題中正確的是（    ）

    A．①             B．②             C．③             D．②③

8. 如果把圓C:x2+y2=1沿向量a=(1,m)平移到,且與直線3x-4y=0相切,則m的值為（    ）

A.2或-      B.2或        C.-2或        D.-2或-

9. 某電視臺連續(xù)播放5個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的奧運宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運宣傳廣告，且2個奧運宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有           

A．120種        B．48種           C．36種           D．18種

10．已知函數在區(qū)間上至少取得2次最大值，則正整數的最小值是（    ）

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      82615980
      11. 已知函數，在區(qū)間上有最小值，則函數在區(qū)間上一定（    ）
      A.有最小值        B.有最大值      
C.是減函數       D.是增函數
      12. 在平面直角坐標系中，，映射將平面上的點對應到另一個平面直角坐標系上的點，則當點沿著折線運動時，在映射的作用下，動點的軌跡是（    ）
                 
      A.         
       B.                  C.               D.
       
      第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分）
      二．填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在題后的橫線上．）
      13. 在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域面積是      ． 
      

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      14. 已知的展開式中，二項式系數和為，各項系數和為，則        ． 
      

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      15. 一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為     ．
      

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      16. 已知定義在上的函數滿足，且當時，，則的值為        ．                      

       
       
      

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      三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算過程）
      17．（本小題滿分12分）
      

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      已知函數=2acos2x+bsinxcosx，且f(0)=，f()=.
      

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      （Ⅰ）求的解析式；
      

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      （Ⅱ）求的單調遞增區(qū)間；
      

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      （Ⅲ）函數的圖象經過怎樣的平移可使其對應的函數成為奇函數？
       
      

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      18．（本小題滿分12分）
      

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      三個人進行某項射擊活動，在一次射擊中甲、乙、丙三人射中目標的概率分別為、、.
      （Ⅰ）一次射擊后，三人都射中目標的概率是多少？
      

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      （Ⅱ）用隨機變量表示三個人在一次射擊后射中目標的次數與沒有射中目標的次數之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數學期望.
       
       
       
      

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      19．（本小題滿分12分）
      如圖，直三棱柱A1B1C1―ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分別為棱C1C、B1C1的中點.
      

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          （Ⅰ）求與平面A1C1CA所成角的大�。�
          （Ⅱ）求二面角B―A1D―A的大��；
          （Ⅲ）試在線段AC上確定一點F，使得EF⊥平面A1BD.
       
       
      

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      20．（本小題滿分12分）
      

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      數列的前項和為，滿足關系： .
      

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      (Ⅰ)求的通項公式：
      

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      (Ⅱ)設計算.
       
      

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      21．（本小題滿分12分）
      

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      已知點A（－2,0），B（2,0），動點P滿足：∠APB=2,且|PA||PB|sin2θ=2，
      （Ⅰ）求證：動點P的軌跡Q是雙曲線；
      

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      （Ⅱ）過點B的直線與軌跡Q交于兩點M，N.試問軸上是否存在定點C，使為常數，若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由.
       
      

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      22．（本小題滿分14分）
      

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      已知函數
      

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         （Ⅰ）求函數的單調區(qū)間和最小值；
      

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         （Ⅱ）當（其中e=2.718 28…是自然對數的底數）；
      

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         （Ⅲ）若
       
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      一.選擇題   1-5   6-10   11-12     BBDBC  CBACC  DA
       
      二．填空題   13. 1 ;   14. 2;    15. ;   16.  -1
       
      三、解答題
      17.解：（Ⅰ）由f(0)=，得2a-=，∴2a=，則a=.
      由f()=，得+-=，∴b=1，…………2分
      ∴f(x) =cos2x+sinxcosx -=cos2x+sin2x=sin(2x+).…………4分
      （Ⅱ）由f(x)=sin(2x+).
      又由+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，
      ∴f（x）的單調遞增區(qū)間是［+kπ，+kπ］(k∈Z)．?…………8分
      （Ⅲ）∵f(x)=sin2(x+)，
      ∴函數f(x)的圖象右移后對應的函數可成為奇函數．…………12分
       
      18．解：（I）一次射擊后，三人射中目標分別記為事件A1，A2，A3，
      由題意知A1，A2，A3互相獨立，且,…………2分
      .…………4分
      ∴一次射擊后，三人都射中目標的概率是.…………5分
      （Ⅱ）證明：一次射擊后，射中目標的次數可能取值為0、1、2、3，相應的沒有射中目標的的次數可能取值為3、2、1、0，所以可能取值為1、3, …………6分
      則）+
       ………8分
      ∴，………10分
      ∴＝.………12分
      19．解：（Ⅰ）連接A1C.∵A1B1C1－ABC為直三棱柱，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥BC.
          ∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A1C1CA. ……………1分
          ∴為與平面A1C1CA所成角，
      .
      ∴與平面A1C1CA所成角為.…………3分
      （Ⅱ）分別延長AC，A1D交于G. 過C作CM⊥A1G
于M，連結BM，
          ∵BC⊥平面ACC­1A1，∴CM為BM在平面A1C1CA內的射影，
          ∴BM⊥A1G，∴∠CMB為二面角B―A1D―A的平面角，………………………5分
          平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D為C1C的中點，
          ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，，.……7分
          即二面角B―A1D―A的大小為.……………………8分
      （Ⅲ）取線段AC的中點F，則EF⊥平面A1BD.……………9分
      證明如下：
      ∵A1B1C1―ABC為直三棱柱，∴B1C1//BC，
      ∵由（Ⅰ）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA，……………10分
      ∵EF在平面A1C1CA內的射影為C1F，當F為AC的中點時，
      C1F⊥A1D，∴EF⊥A1D.
      同理可證EF⊥BD，∴EF⊥平面A1BD.……………………12分
      文本框:  解法二：
      （Ⅰ）同解法一……………………3分
      （Ⅱ）∵A1B1C1―ABC為直三棱柱，C1C=CB=CA=2，
      AC⊥CB，D、E分別為C1C、B1C1的中點.
      建立如圖所示的坐標系得：
      C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），
      C1（0，0，2）， B1（2，0，2）， A­1（0，2，2），
      D（0，0，1）， E（1，0，2）.………………6分
      ，設平面A1BD的法向量為，
        .…………6分
      平面ACC1A1­的法向量為=（1，0，0），.………7分
      即二面角B―A1D―A的大小為.…………………8分
      （Ⅲ）F為AC上的點，故可設其坐標為（0，，0），∴.
      由（Ⅱ）知是平面A1BD的一個法向量，
      欲使EF⊥平面A1BD，當且僅當//.……10分
      ∴，∴當F為AC的中點時，EF⊥平面A1BD.…………………12分 
       
      20．解：(Ⅰ) 據題意： ，
      .
        
兩式相減,有：，…………3分
       .…………4分
      又由=解得. …………5分
      ∴是以為首項，為公比的等比數列，∴.…………6分
       (Ⅱ) 
       ………8分
      …………12分
       
      21．解: （Ⅰ）依題意，由余弦定理得：
      , ……2分
      即
      　　
      .
      ,即.　　…………4分
      （當動點與兩定點共線時也符合上述結論）
      動點的軌跡Q是以為焦點,實軸長為的雙曲線．其方程為.………6分
      (Ⅱ)假設存在定點,使為常數．
      （1）當直線不與軸垂直時，
      設直線的方程為,代入整理得:
      ．…………7分
      由題意知，．
      設,,則,．…………8分
      于是，   …………9分
      ．…………10分
      要使是與無關的常數，當且僅當，此時．…11分
      （2）當直線與軸垂直時，可得點,，
      當時，．    
      故在軸上存在定點,使為常數.…………12分
       
      22．解：（Ⅰ）………1分
              
              同理，令
              ∴f(x)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.……………………3分
              由此可知…………………………………………4分
         （Ⅱ）由（I）可知當時，有，
              即.
          .……………………………………………………………………7分
       
（Ⅲ）
設函數…………………………………10分
              
              ∴函數）上單調遞增，在上單調遞減.
              ∴的最小值為，即總有
              而
              
              即
              令則
              
              ……………………………………14分
       
      
				
	
      
		
      


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