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練習(xí)冊(cè)

練習(xí)冊(cè)
試題

大連市2009年高三年級(jí)第一次模擬考試

數(shù)學(xué)試題（理科）

說(shuō)明：

1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿(mǎn)分150分。考試時(shí)間120分鐘。

2．將I卷和II卷的答案都寫(xiě)在答題紙上，在試卷上答題無(wú)效。

參考公式：

半徑為R的球的體積公式：；

用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式：

第Ⅰ卷（選擇題）

一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．設(shè)全集為（）

A． B． C． D．

2．采用系統(tǒng)抽樣方法從編號(hào)為1～50的50名同學(xué)中選取5名同學(xué)做一個(gè)問(wèn)卷調(diào)查，則確定所選取的5個(gè)同學(xué)的編號(hào)可能是（）

A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43

C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，22

3．已知等比數(shù)列的公比為2，且，則的值為

A．10 B．15 C．20 D．25

4．二項(xiàng)式展開(kāi)的第三項(xiàng)的虛部為（）

A．45 B．-45 C．0 D．

5．若的值為（）

A． B． C． D．

6．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是4，動(dòng)點(diǎn)（x，y）在該區(qū)域內(nèi)，則的最小值為（）

A．6 B．-2 C．0 D．-4

7．已知正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁如圖所示，則直線B₁D和CD₁所成的角為（）

A．60 B．45° C．30° D．90°

A．一個(gè)點(diǎn)

B．兩個(gè)點(diǎn)

C．線段

D．直線

9．若橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)恰好是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．

10．用四種不同顏色給一個(gè)三棱錐的六條棱涂色，其中該三棱錐的六條棱互不相等，只有異面的兩條棱才能涂同色，且四種顏色可以不都用，則不同的涂色方案有（）

A．48種 B．72種 C．96種 D．120種

A．

B．

C．

D．

12．已知函數(shù)處的切線為，則直線、曲線以及直線所圍成的區(qū)域的面積為（）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

二、填空題: 本大題共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分．

13．已知°，則的度數(shù)為．

為．

15．已知x、y的取值如下表：

x

2

3

4

5

y

2.2

3.8

5.5

6.5

從散點(diǎn)圖分析，y與x線性相關(guān)，且回歸方程

為為．

16．右圖是求數(shù)列前10項(xiàng)中最大項(xiàng)的程序框圖，

①，②處分別應(yīng)該填上， .

三、解答題:本大題共6題,共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.

17．（本小題滿(mǎn)分12分）

一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次出現(xiàn)一個(gè)6位的二進(jìn)制數(shù)恒為1，之間出現(xiàn)1或0是相互獨(dú)立的，且，出現(xiàn)0的概率為，當(dāng)啟動(dòng)儀器一次時(shí)。

（I）求的概率；

（II）求X的期望。

[注：]

18．（本小題滿(mǎn)分12分）

已知三棱錐A―BCD及其三視圖如圖所示。

（I）若平面DEF；

（Ⅱ）求二面角B―AC―D的大小。

19．（本小題滿(mǎn)分12分）

平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)

（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線：分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，交曲線E于點(diǎn)C、D，且

①求k的值；

②若點(diǎn)，求△NCD面積取得最大時(shí)直線的方程.

20．（本小題滿(mǎn)分12分）

已知兩數(shù)列且

（I）求證：

（II）求證：數(shù)列

21．（本小題滿(mǎn)分12分）

已知函數(shù)，函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且義域內(nèi)存在零點(diǎn)（的導(dǎo)函數(shù)）。

（I）求a的值；

（II）設(shè)的圖象上兩點(diǎn)，，試比較的大小，并說(shuō)明理由。

請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。

22．（本小題滿(mǎn)分10分）

選修4-1：幾何證明選講

（I）求證：EF//BC；

（II）求證：DF²=AF?BE。

23．（本小題滿(mǎn)分10分）

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

直線（極軸與x軸的非負(fù)半軸重合，且單位長(zhǎng)度相同）。

（I）求圓心C到直線的距離；

（II）若直線被圓C截的弦長(zhǎng)為的值。

24．（本小題滿(mǎn)分10分）

選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)

求證：

一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

A

C

A

B

D

B

D

C

A

C

二、填空題

13．30° 14． 15．-0.61 16．

三、解答題

17．解：（I）

即中出現(xiàn)3個(gè)1，2個(gè)0 2分

所以 6分

（II）（法一）設(shè)Y=X-1，

由題知 9分

所以 12分

（法二）X的分布列如下：

X

1

2

3

4

P（X）

X

5

6

P（X）

……10服

所以…………12分

18．解：（I）由三視圖可得，三棱錐A―BCD中

都等于90°，

每個(gè)面都是直角三角形；

可得面ADB，所以……2分

又，所以面ABC，

所以DEAC， 4分

又DFAC，所以AC面DEF。 6分

（II）方法一：由（I）知為二面角B―AC―D的平面角， 9分

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12分

方法二：過(guò)B作CD于O，

過(guò)O作OMAC于M，連結(jié)BM，

因?yàn)锳D面BDC，所以ADC面BDC。

所以BO面ADC，

由三垂線定理可得為二面角B―AC―D的平面角， 9分

可求得

所以，

所以 12分

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方法三：如圖，以DB為x軸，

過(guò)D作BC的不行線這y軸，DA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系。

所以 8分

設(shè)面DAC的一個(gè)法向量為，

則

則

設(shè)面BAC的一個(gè)法向量為，

則

則 10分

所以，

因?yàn)槎娼荁―AC―D為銳角，

所以二面角B―AC―D的大小為 12分

19．解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

，

即………………2分

（Ⅱ）①在中分別令

……………3分

設(shè)，

由

………………4分

，

所以

即

………………6分

②

……………7分

點(diǎn)N到CD的距離……………8分

…………………9分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

即，此時(shí)，

所以直線的方程為…………………12分

20．證明：（I）先證

法一：

法二：①；

②假設(shè)時(shí)命題成立，

即

所以時(shí)命題也成立。

綜合①②可得 2分

再證

①；

②假設(shè)時(shí)命題成立，即，

則

所以時(shí)命題也成立。

綜合①②可得 6分

（II）

故數(shù)列單調(diào)遞減 9分

又

即 12分

21．解：（I）因?yàn)?sub> 6ec8aac122bd4f6e ，所以

方法一： 2分

因?yàn)?sub> 6ec8aac122bd4f6e 上是增函數(shù)，

所以上恒成立，

即上恒成立，

所以 4分

又存在正零點(diǎn)，

故。

即

所以 6分

方法二： 2分

因?yàn)?sub> 6ec8aac122bd4f6e 上是增函數(shù)，

所以上恒成立，

若，

于是恒成立。

又存在正零點(diǎn)，

故

與

即矛盾，

所以 4分

由恒成立，

又存在正零點(diǎn)，

故

所以即 6分

（II）結(jié)論理由如下：

由（I），

所以 7分

方法一：

8分

令

上，

所以上為增函數(shù) 10分

當(dāng)

即

從而得到證明。 12分

方法二：

，

8分

令，

作函數(shù)

令

當(dāng) 10分

，

所以當(dāng)，

即

所以 12分

22．證明：（I）⊙O切BC于D，

2分

的角平分線，

又

4分

（II）連結(jié)DE，

⊙O切BC于D，

5分

由（I）可得

又⊙O內(nèi)接四邊形AEDF，

∽

分

又

10分

23．解：（I）把化為普通方程為

2分

把化為直角坐標(biāo)系中的方程為

4分

圓心到直線的距離為 6分

（II）由已知 8分

10分

24．證明：法一：

5分

10

法二：

5分

10分

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