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某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為a₁、b₁千克，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為a₂、b₂千克．甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤(rùn)分別為d₁、d₂元．月初一次性購(gòu)進(jìn)本月用原料A、B各c₁、c₂千克．要計(jì)劃本月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤(rùn)總額達(dá)到最大．在這個(gè)問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x千克、y千克，月利潤(rùn)總額為z元，那么，用于求使總利潤(rùn)z=d₁x+d₂y最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為（ ）
A．
B．
C．
D．

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某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為、千克，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為、千克。甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤(rùn)分別為、元。月初一次性購(gòu)進(jìn)本月用原料A、B各、千克。要計(jì)劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤(rùn)總額達(dá)到最大。在這個(gè)問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克、千克，月利潤(rùn)總額為元，那么，用于求使總利潤(rùn)最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為
A.   B.   C.  D.

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本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁(yè)。第Ⅱ卷3到10頁(yè)�？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事項(xiàng)：

1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上。

2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。不能答在試題卷上。

3．本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么                           球是表面積公式

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么                           其中R表示球的半徑

                        球的體積公式

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么                 

n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率              其中R表示球的半徑

一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分；

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D

D

B

D

B

A

C

A

C

A

B

（1）已知集合，集合，則集合

（A）                   （B） 

（C）                   （D）

（2）復(fù)數(shù)的虛部為

（A）          （B）            （C）          （D） 

（3）已知，下面結(jié)論正確的是

（A）在處連續(xù)                      （B） 

（C）                           （D）

（4）已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為

（A）      （B）     （C）       （D）

（5）下列函數(shù)中，圖象的一部分如右圖所示的是

（A）                  （B） 

（C）                 （D）

 （6）已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于

（A）      （B）     （C）       （D）

(7) 如圖，已知正六邊形，下列向量的數(shù)量積中最大的是

（A）                  （B） 

（C）                  （D）

(8) 某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤(rùn)分別為元，月初一次性夠進(jìn)本月用原料各千克，要計(jì)劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤(rùn)總額達(dá)到最大；在這個(gè)問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克，千克，月利潤(rùn)總額為元，那么，用于求使總利潤(rùn)最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為

 （A）  （B）    （C）     （D） 

(9) 直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為

（A）         （B）             （C）              （D）

(10) 已知球的半徑是，三點(diǎn)都在球面上，兩點(diǎn)和兩點(diǎn)的球面距離都是，兩點(diǎn)的球面距離是，則二面角的大小是

（A）             （B）              （C）              （D）

（11）設(shè)分別是的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，則是的

（A）充分條件                             （B）充分而不必要條件

（C）必要而充分條件                       （D）既不充分又不必要條件

（12）從到這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被整除的概率為

（A）            （B）               （C）           （D）

第Ⅱ卷

二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分；把答案填在題中的橫線上。

（13）在三棱錐中，三條棱兩兩互相垂直，且是邊的中點(diǎn)，則與平面所成角的大小是________________（用反三角函數(shù)表示）

（14）設(shè)離散性隨機(jī)變量可能取的值為，又的數(shù)學(xué)期望，則________________;

（15）如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成等份，過每個(gè)分點(diǎn)

作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則

________________;

（16）非空集合關(guān)于運(yùn)算滿足：（1）對(duì)任意，都有；

（2）存在，使得對(duì)一切，都有，則稱關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”；現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：

①               ②

③            ④

⑤

其中關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”______①，③__________;（寫出所有“融洽集”的序號(hào)）

三．解答題：本大題共6小題，共74分；解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

（17）（本大題滿分12分）

已知是三角形三內(nèi)角，向量，且

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求

本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。滿分12分。

解：（Ⅰ）∵ ∴  即

, 

∵  ∴   ∴

（Ⅱ）由題知，整理得

∴ ∴

∴或

而使，舍去   ∴

∴

（18）（本大題滿分12分）

    某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行，每部分考核成績(jī)只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為；在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為，所有考核是否合格相互之間沒有影響

（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；

（Ⅱ）求這三人該課程考核都合格的概率。（結(jié)果保留三位小數(shù)）

本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件等概率的計(jì)算方法，考察應(yīng)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。滿分12分。

解：記“甲理論考核合格”為事件；“乙理論考核合格”為事件；“丙理論考核合格”為事件；記為的對(duì)立事件，；記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件；“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件；“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件；

（Ⅰ）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件，記為的對(duì)立事件

解法1：

解法2：

所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為

（Ⅱ）記“三人該課程考核都合格” 為事件

     所以，這三人該課程考核都合格的概率為

（19）（本大題滿分12分）

如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是的

中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

（Ⅲ）求三棱錐的體積。

本小題主要考察長(zhǎng)方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間想象能力和推理能力。滿分12分

解法一：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)

       ∵分別為的中點(diǎn)

       ∵

       ∴面，面

     ∴面面   ∴面

（Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)

∵為的中點(diǎn)   ∴   ∴面

作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得

從而為二面角的平面角。

在中，，從而

在中，

故：二面角的大小為

      （Ⅲ）

作，交于，由面得

∴面

∴在中，

∴

方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則

∵分別是的中點(diǎn)

∴

（Ⅰ）

       取，顯然面

        ，∴

又面  ∴面

（Ⅱ）過作，交于，取的中點(diǎn)，則∵

設(shè)，則

又

由，及在直線上，可得:

解得

∴ ∴   即

∴與所夾的角等于二面角的大小

故：二面角的大小為

（Ⅲ）設(shè)為平面的法向量，則

     又

    ∴    即   ∴可取

     ∴點(diǎn)到平面的距離為

    ∵， 

     ∴

     ∴

（20）（本大題滿分12分）

     已知數(shù)列，其中，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）設(shè)，（其中為的導(dǎo)函數(shù)），計(jì)算

本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的能力，同時(shí)考查分類討論的思想方法，滿分12分。

解：（Ⅰ）由題意，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列

 前項(xiàng)和，

（Ⅱ）  

（21）（本大題滿分14分）

     已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)，如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值和的面積

本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分12分。

解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，

且，易知

       故曲線的方程為

   設(shè)，由題意建立方程組

 消去，得

又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有

       解得

又∵

依題意得    整理后得

∴或  但   ∴

故直線的方程為

設(shè)，由已知，得

∴，

又，

∴點(diǎn)

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得 

得，但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意

∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為

到的距離為    

∴的面積

   （22）（本大題滿分14分）

     已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)是，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明：

       （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

       （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

        本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)及綜合分析、推理論證的能力，滿分14分。

   證明：（Ⅰ）由

 得

               而  ①

               又

              ∴  ②

             ∵   ∴

∵  ∴  ③

由①、②、③得

即

（Ⅱ）證法一：由，得

∴

下面證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),有恒成立

即證成立

∵

設(shè)，則

令得，列表如下：

極小值

       ∴

∴對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有

證法二：由，得

∴

∵是兩個(gè)不相等的正數(shù)

∴

設(shè)，

則，列表：

極小值

∴   即

∴

即對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有

錄入：四川省內(nèi)江市隆昌縣黃家中學(xué)     

程   亮                    

lc_chengliang@163.com              

參考答案

一．選擇題：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D

D

B

D

B

A

C

A

C

A

B

（1）已知集合=，集合，則集合，選C.

（2）復(fù)數(shù)=,所以它的虛部為－2，選D.

（3）已知，則，而，∴ 正確的結(jié)論是，選D.

（4）已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為兩條直線所成的角，∴ θ=，選B.

（5）從圖象看出，T=，所以函數(shù)的最小正周期為π，函數(shù)應(yīng)為y=向左平移了個(gè)單位，

即=，所以選D.  

（6）已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，

則，即，所以點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π，選B.

 (7) 如圖，已知正六邊形，設(shè)邊長(zhǎng)，則∠=.，,=，∠=，，=，=0，<0，∴ 數(shù)量積中最大的是，選A.

 (8) 某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤(rùn)分別為元，月初一次性夠進(jìn)本月用原料各千克，要計(jì)劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤(rùn)總額達(dá)到最大；在這個(gè)問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克，千克，月利潤(rùn)總額為元，那么，用于求使總利潤(rùn)最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為，選C.

 (9) 直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，聯(lián)立方程組得，消元得，解得，和，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面積為48，選A.

 (10) 已知球的半徑是R=，三點(diǎn)都在球面上，兩點(diǎn)和兩點(diǎn)的球面距離都是，則∠AOB，∠AOC都等于，AB=AC，兩點(diǎn)的球面距離是，∠BOC=，BC=1，過B做BD⊥AO，垂足為D，連接CD，則CD⊥AD，則∠BDC是二面角的平面角，BD=CD=，∴∠BDC=，二面角的大小是，選C.

（11）設(shè)分別是的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，若，

則，則，

∴ ，，

又，∴ ，∴ ，，

若△ABC中，，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到，

所以是的充要條件，選A.

（12）從到這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被整除。

所有的三位數(shù)有個(gè)，將10個(gè)數(shù)字分成三組，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，若要求所得的三位數(shù)被3整除，則可以分類討論：①三個(gè)數(shù)字均取第一組，或均取第二組，有個(gè)；② 若三個(gè)數(shù)字均取自第三組，則要考慮取出的數(shù)字中有無(wú)數(shù)字0，共有個(gè)；③ 若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中不取0，有個(gè)，④若三組各取一個(gè)數(shù)字，第三組中取0，有個(gè)，這樣能被3 整除的數(shù)共有228個(gè)，不能被整除的數(shù)有420個(gè)，所以概率為=，選B。

二填空題：

（13）在三棱錐中，三條棱兩兩互相垂直，且是邊的中點(diǎn)，設(shè)，則，，O點(diǎn)在底面的射影為底面△ABC的中心，=，又，與平面所成角的正切是，所以二面角大小是.

（14）設(shè)離散性隨機(jī)變量可能取的值為，所以

，即，又的數(shù)學(xué)期望，則

，即，,∴ .

（15）如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，，同理其余兩對(duì)的和也是，又，∴ =35

（16）非空集合關(guān)于運(yùn)算滿足：（1）對(duì)任意，都有；

（2）存在，使得對(duì)一切，都有，則稱關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”；現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：

①,滿足任意，都有，且令，有，所以①符合要求；

②,若存在，則，矛盾，∴ ②不符合要求；

③,取，滿足要求，∴ ③符合要求；

④，兩個(gè)二次三項(xiàng)式相加得到的可能不是二次三項(xiàng)式，所以④不符合要求；

⑤，兩個(gè)虛數(shù)相乘得到的可能是實(shí)數(shù)，∴ ⑤不符合要求，

這樣關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的有①③。

三．解答題：

17．本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。滿分12分。

解：（Ⅰ）∵ ∴  即

, 

∵  ∴   ∴

（Ⅱ）由題知，整理得

∴ ∴

∴或

而使，舍去   ∴

∴

18．本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件等概率的計(jì)算方法，考察應(yīng)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。滿分12分。

解：記“甲理論考核合格”為事件；“乙理論考核合格”為事件；“丙理論考核合格”為事件；記為的對(duì)立事件，；記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件；“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件；“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件；

（Ⅰ）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件，記為的對(duì)立事件

解法1：

解法2：

所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為

（Ⅱ）記“三人該課程考核都合格” 為事件

     所以，這三人該課程考核都合格的概率為

19．本小題主要考察長(zhǎng)方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間想象能力和推理能力。滿分12分

解法一：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)

       ∵分別為的中點(diǎn)

       ∵

       ∴面，面

     ∴面面   ∴面

（Ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)

∵為的中點(diǎn)   ∴   ∴面

作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得

從而為二面角的平面角。

在中，，從而

在中，

故：二面角的大小為

      （Ⅲ）

作，交于，由面得

∴面

∴在中，

∴

方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則

∵分別是的中點(diǎn)

∴

（Ⅰ）

       取，顯然面

        ，∴

又面  ∴面

（Ⅱ）過作，交于，取的中點(diǎn)，則∵

設(shè)，則

又

由，及在直線上，可得:

解得

∴ ∴   即

∴與所夾的角等于二面角的大小

故：二面角的大小為

（Ⅲ）設(shè)為平面的法向量，則

     又

    ∴    即   ∴可取

     ∴點(diǎn)到平面的距離為

    ∵， 

     ∴

     ∴

20．本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的能力，同時(shí)考查分類討論的思想方法，滿分12分。

解：（Ⅰ）由題意，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列

 前項(xiàng)和，

（Ⅱ）  

21．本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分12分。

解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，

且，易知

       故曲線的方程為

   設(shè)，由題意建立方程組

 消去，得

又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有

       解得

又∵

依題意得    整理后得

∴或  但   ∴

故直線的方程為

設(shè)，由已知，得

∴，

又，

∴點(diǎn)

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得 

得，但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意

∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為

到的距離為    

∴的面積

22．本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)及綜合分析、推理論證的能力，滿分14分。

   證明：（Ⅰ）由

 得

               而  ①

               又

              ∴  ②

             ∵   ∴

∵  ∴  ③

由①、②、③得

即

（Ⅱ）證法一：由，得

∴

下面證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),有恒成立

即證成立

∵

設(shè)，則

令得，列表如下：

極小值

       ∴

∴對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有

證法二：由，得

∴

∵是兩個(gè)不相等的正數(shù)

∴

設(shè)，

則，列表：

極小值

∴   即

∴

即對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有