(1)試求函數(shù)的最大值和最小值, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

把函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象．　

(1)求函數(shù)的解析式； (2)若，證明：.

【解析】本試題主要考查了函數(shù) 平抑變換和運(yùn)用函數(shù)思想證明不等式。第一問(wèn)中，利用設(shè)上任意一點(diǎn)為（x,y）則平移前對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（x+1,y-2）代入　，便可以得到結(jié)論。第二問(wèn)中，令，然后求導(dǎo)，利用最小值大于零得到。

(1)解：設(shè)上任意一點(diǎn)為（x,y）則平移前對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（x+1,y-2）代入　得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以．……4分

(2) 證明：令，……6分

則……8分

,∴,∴在上單調(diào)遞增．……10分

故，即

 

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設(shè)函數(shù)f(x)=5sin(
k
5
x-
π
3
)(k≠0)．
（1）寫(xiě)出f（x）的最大值M，最小值m，最小正周期T；
（2）試求最小正整數(shù)k，使得當(dāng)自變量x在任意兩個(gè)整數(shù)間（包括整數(shù)本身）變化時(shí)，函數(shù)f（x）至少有一個(gè)值是M和一個(gè)值是m．

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設(shè)函數(shù)f（θ）=
3
sinθ+cosθ，其中，角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x，y），且0≤θ≤π．
（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
1
2
，
3
2
)，求f（θ）的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（x，y）為平面區(qū)域Ω：
x+y≥1
x≤1
y≤1
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角θ的取值范圍，并求函數(shù)f（θ）的最小值和最大值．

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設(shè)函數(shù)f（α）=sinα+
3
cosα，其中，角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x，y），且0≤α≤π．
（1）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（
3
，1），求f（α）的值；
（2）若點(diǎn)P（x，y）為平面區(qū)域
x+y≥1
y≥x
y≤1
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角α的取值范圍，并求函數(shù)f（α）的最小值和最大值．

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設(shè)函數(shù)fn( θ )=sinnθ+( -1 )ncosnθ，0≤θ≤
π
4
，其中n為正整數(shù)．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f1（θ）、f3（θ）的單調(diào)性，并就f1（θ）的情形證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）證明：2f6（θ）-f4（θ）=（cos4θ-sin4θ）（cos2θ-sin2θ）；
（Ⅲ）試給出求函數(shù)fn（θ）的最大值和最小值及取得最值時(shí)θ的取值的一般規(guī)律（不要求給出證明）．
fn（θ） fn（θ）的
單調(diào)性		 fn（θ）的最小值及取得最小值時(shí)θ的取值 fn（θ）的最大值及取得最大值時(shí)θ的取值
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6

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一、選擇題

BCDC  BBCB  AA

二、填空題

11．（-1，0）；12．4；13．-4；14．-1；15．；16．x2(注：本題答案不唯一，只要滿足條件 a¹0,2|a|+|b|≤1即可)

三、解答題

17．解：由條件知20cos2A=3?,即10cos2A?sinA=3cosA,又cot¹tan,∴cosA¹0,

解得sin2A=.                     ?????????????????????????????????????????????????????????4分

(1)    若∠C=60º,則cos2B=cos2(120º-A)=cos(240º-2A)=-cos(60º-2A)=-(cos60ºcos2A+sin60ºsin2A)

=-.                         ??????????????????????????????????????????????????????????????7分

(2)    若a<b<c,則A<60º.又由sin2A=<,知0<2A<60º或2A>120º.∴A<30º.???????????????11分

∵(sinA-cosA)2=1-sin2A=,∴sinA-cosA=-.???????????????????????????????????????????????????????12分

18．解:(1)設(shè)P(x,y),則=(x+1,y),=(x-1,y),

   ∵,∴(x+1)2=(x-1)2+y2,????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分

即y2=4x.     

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程是y2=4x.      ???????????????????????????????????????????????????????????????????????4分

  (2)設(shè)直線l的方程為x=k(y-1),代入軌跡E的方程y2=4x,整理得:y2-4ky+4k=0.  ?????????6分

由題意知,(4k)2-4´4k>0且4k>0,解得k>1.    ???????????????????????????????????????????????????????????8分

由根與系數(shù)的關(guān)系可得MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(k(2k-1),2k),

∴線段MN垂直平分線方程為:y-2k=-k[x-k(2k-1)],        ?????????????????????????????????10分

令y=0,得D點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0=2k2-k+2,

∵k>1,∴x0>3,即為所求.      ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分

19．(1)證明:連結(jié)C1E,則C1E^A1B1,

又∵A1B1^C1C,∴A1B1^平面EDC1,∴A1B­1^DE,

而A1B1//AB,∴AB^DE.   ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分

(2)取AB中點(diǎn)為F,連結(jié)EF,DF,則EF^AB,∴AB^DF.

   過(guò)E作直線EH^DF于H點(diǎn),則EH^平面DAB,∴EH就是直線A1B1到平面DAB的距離.

   在矩形C1EFC中,∵AA1=AB=2,∴EF=2,C1E=,DF=2,

∴在△DEF中,EH=,

故直線A1B1到平面DAB的距離為.         ???????????????????????????????????????????????????????????9分

(3)過(guò)A作AM^BC于M點(diǎn),則AM^平面CDB,

   過(guò)M作MN^BD于N點(diǎn),連結(jié)AN,則AN^BD,∴∠ANM即為所求二面角的平面角,

   在Rt△DCB中,BC=2,DC=1,M為BC中點(diǎn),∴MN=,

   在Rt△AMN中,tan∠ANM=,

    故二面角A-BD-C的大小為arctan.      ???????????????????????????????????????????????????????????????14分

20．解：（1）設(shè)從明年開(kāi)始經(jīng)過(guò)第n年，方案乙的累計(jì)總收益為正數(shù)。

在方案乙中，前4年的總收入為

    =2600<6000,                       ?????????????????????????????????????????1分

故n必定不小于5，則由

    2600+320´1.54(n-4)>6000，                       ?????????????????????????????????????4分

解得 n>6,故n的最小值為7，

答: 從明年開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)7年，方案乙能收回投資。  ????????????????????????????????????????????6分

（2）設(shè)從明年開(kāi)始經(jīng)過(guò)n年方案甲與方案乙的累計(jì)總收益分別為y1,y2萬(wàn)元，則

y1=760n-[50n+n(n-1)?20]=-10n2+720n,    ???????????????????????????????????????????????????????????????8分

當(dāng)n≤4時(shí)，則y1>0,y2<0,可得y1>y2.          ???????????????????????????????????????????????????????????9分

當(dāng)n³5時(shí)，y2=2600+320´1.54(n-4)-6000=1620n-9880，

令y1<y2,可得1620n-9880>-10n2+720n,

即   n(n+90)>998,   ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12分

由10(10+90)>998,9(9+90)<998,可得n的最小值為10.

答：從明年開(kāi)始至少經(jīng)過(guò)10年，方案乙的累計(jì)總收益超過(guò)方案甲。 ??????????????????14分

21．解: (1)設(shè)0≤x1<x2≤1,則必存在實(shí)數(shù)tÎ(0,1),使得x2=x1+t,

   由條件③得,f(x2)=f(x1+t)³f(x1)+f(t)-2,

   ∴f(x2)-f(x1)³f(t)-2,

   由條件②得, f(x2)-f(x1)³0,

   故當(dāng)0≤x≤1時(shí),有f(0)≤f(x)≤f(1).                 ????????????????????????????????????????????????????????????3分

   又在條件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)³f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,   ??????????????????????????????5分

   故函數(shù)f(x)的最大值為3,最小值為2.                        ???????????????????????????????????6分

(2)解:在條件③中,令x1=x2=,得f()³2f()-2,即f()-2≤[f()-2],  ????????????????????????????9分

   故當(dāng)nÎN*時(shí)，有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤???≤[f()-2]=,

   即f()≤+2.

   又f()=f(1)=3≤2+,

   所以對(duì)一切nÎN,都有f()≤+2.                    ???????????????????????????????????????????????12分

(3)對(duì)一切xÎ(0,1,都有.

  對(duì)任意滿足xÎ(0,1，總存在n(nÎN),使得

        <x≤,                    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分

  根據(jù)（1）（2）結(jié)論，可知：

f(x)≤f()≤+2,

且2x+2>2´+2=+2,

故有.

綜上所述，對(duì)任意xÎ(0,1,恒成立.   ?????????????????????????????????????????????16分

 


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