(本題滿分15分.第1小題6分.第2小題9分) 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

(本題滿分13分)

某班幾位同學組成研究性學習小組，對歲的人群隨機抽取n人進行了一次日常生活中是否

具有環(huán)保意識的調查. 若生活習慣具有環(huán)保意識的稱為“環(huán)保族”，否則稱為 “非環(huán)保族”，得到如下統(tǒng)計表：

組數(shù)

分組

環(huán)保族人數(shù)

占本組的頻率

本組占樣本的頻率

第一組

120

0.6

0.2

第二組

195

p

q

第三組

 100:]

0.5

0.2

第四組

a

0.4

0.15

第五組

30

0.3

0.1

第六組

15

0.3

0.05

（Ⅰ）求q、n、a、p的值；

（Ⅱ）從年齡段在的“環(huán)保族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外環(huán)�；顒�，其中選取2人

作為領隊，求選取的2名領隊中恰有1人年齡在的概率.

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（本小題滿分12分）
某高校從參加今年自主招生考試的學生中隨機抽取容量為50的學生成績樣本，得頻率分布表如下：

組號
分組
頻數(shù)
頻率
第一組

8
0.16
第二組

①
0.24
第三組

15
②
第四組

10
0.20
第五組

5
0.10
合             計
50
1.00
(1)寫出表中①②位置的數(shù)據(jù)；
(2)為了選拔出更優(yōu)秀的學生，高校決定在第三、四、五組中用分層抽樣法抽取6名學生進行第二輪考核，分別求第三、四、五各組參加考核人數(shù)；
(3)在(2)的前提下，高校決定在這6名學生中錄取2名學生，求2人中至少有1名是第四組的概率．

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（本小題滿分12分）

第8屆中學生模擬聯(lián)合國大會將在本校舉行，為了搞好接待工作，組委會招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）：

                       男             女

                               15    7  7  8  9  9  9

9  8   16    0  0  1  2  4  5  8  9

8  6  5  0   17    2  5  6

7  4  2  1   18    0 

1  0   19

若男生身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”， 在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個子”， 女生身高在170cm以上（包括170cm）定義為“高個子”，在170cm以下（不包括170cm）定義為“非高個子”．

（1）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取6人，則應分別抽取“高個子”、“非高個子”各幾人？

（2）從（1）中抽出的6人中選2人擔任領座員，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？

 

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（本小題滿分15分）

    在參加市里主辦的科技知識競賽的學生中隨機選取了40名學生的成績作為樣本，這40名學生的成績全部在40分至100分之間，現(xiàn)將成績按如下方式分成6組：第一組，成績大于等于40分且小于50分；第二組，成績大于等于50分且小于60分；……第六組，成績大于等于90分且小于等于100分，據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖。

在選取的40名學生中。

   （I）求成績在區(qū)間內的學生人數(shù)；

   （II）從成績大于等于80分的學生中隨機選2名學生，求至少有1名學生成績在區(qū)間[90，100]內的概率。

 

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（本小題滿分12分）
第8屆中學生模擬聯(lián)合國大會將在本校舉行，為了搞好接待工作，組委會招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）：
                       男             女
                               15    7  7  8  9  9  9
9  8   16    0  0  1  2  4  5  8  9
8  6  5  0   17    2  5  6
7  4  2  1   18    0 
1  0   19
若男生身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”， 在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個子”， 女生身高在170cm以上（包括170cm）定義為“高個子”，在170cm以下（不包括170cm）定義為“非高個子”．
（1）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取6人，則應分別抽取“高個子”、“非高個子”各幾人？
（2）從（1）中抽出的6人中選2人擔任領座員，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？

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一、填空題（每題5分，理科總分55分、文科總分60分）：

1. ；      2. 理：2；文：；      3. 理：1.885；文：2；

4. 理：；文：1.885；   5. 理：；文：4；   6. 理：；文：；

7. 理：；文：；     8. 理：；文：6；    9. 理：；文：；

10. 理：1； 文：；    11. 理：；文：；     12. 文：；

二、選擇題（每題4分，總分16分）：

題號

理12；文13

理13；文14

理：14；文：15

理15；文：16

答案

A

C

B

C

 

三、解答題：

16.（理，滿分12分）

解：因為拋物線的焦點的坐標為，設、，

由條件，則直線的方程為，

代入拋物線方程，可得，則.

于是，.

 

…2

 

 

…4

 

…8

 

 

…12

17.（文，滿分12分）

解：因為，所以由條件可得，.

即數(shù)列是公比的等比數(shù)列.

又，

所以，.

 

 

 

…4

 

…6

 

 

…8

 

…12

（理）17.（文）18. （滿分14分）

解：因為

所以，

即或，

或，

又由，即

當時，或；當時，或.

所以，集合.

 

 

 

…3

 

 

…7

 

 

 

…11

 

 

 

 

 

 

…14

18.(理，滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：（1）當時，

 

故，，所以.

（2）證：由數(shù)學歸納法

（i）當時，易知，為奇數(shù)；

（ii）假設當時，，其中為奇數(shù)；

則當時，

         

所以，又、，所以是偶數(shù)，

而由歸納假設知是奇數(shù)，故也是奇數(shù).

綜上（i）、（ii）可知，的值一定是奇數(shù).

證法二：因為

當為奇數(shù)時，

則當時，是奇數(shù)；當時，

因為其中中必能被2整除，所以為偶數(shù)，

于是，必為奇數(shù)；

當為偶數(shù)時，

其中均能被2整除，于是必為奇數(shù).

綜上可知，各項均為奇數(shù).

 

 

…3

 

 

 

 

 

 

…6

 

 

 

 

…8

 

 

 

 

…10

 

 

 

…14

 

…15

 

 

 

 

 

 

 

 

…10

 

 

 

 

…14

 

…15

19. （文，滿分14分）

解：如圖，設中點為，聯(lián)結、.

由題意，,,所以為等邊三角形，

故，且.

又，

所以.

而圓錐體的底面圓面積為,

所以圓錐體體積.

 

 

 

 

…3

 

 

 

…8

 

…10

 

…14

（理）19. （文）20. （滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

解：（1）由題意，當和之間的距離為1米時，應位于上方，

且此時中邊上的高為0.5米.

又因為米，可得米.

所以，平方米，

即三角通風窗的通風面積為平方米.

（2）1如圖（1）所示，當在矩形區(qū)域滑動，即時，

的面積；

2如圖（2）所示，當在半圓形區(qū)域滑動，即時，

，故可得的面積

 

；

綜合可得：

（3）1當在矩形區(qū)域滑動時，在區(qū)間上單調遞減，

則有；

2當在半圓形區(qū)域滑動時，

，

等號成立，.

因而當（米）時，每個三角通風窗得到最大通風面積，最大面積為（平方米）.

 

 

 

 

…2

 

 

 

 

…4

 

 

 

 

 

 

…6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…9

 

 

 

 

 

…10

 

 

 

 

 

…12

 

 

 

 

 

 

…15

 

 

 

…16

21（文，滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分）

解：（1）設右焦點坐標為（）.

因為雙曲線C為等軸雙曲線，所以其漸近線必為，

由對稱性可知，右焦點到兩條漸近線距離相等，且.

于是可知，為等腰直角三角形，則由，

又由等軸雙曲線中，.

即，等軸雙曲線的方程為.

（2）設、為雙曲線直線的兩個交點.

因為，直線的方向向量為，直線的方程為

.

代入雙曲線的方程，可得，

于是有

而

          .

（3）假設存在定點，使為常數(shù)，其中，為直線與雙曲線的兩個交點的坐標.

   ①當直線與軸不垂直時，設直線的方程為

代入，可得.

   由題意可知，，則有 ，．

于是，

要使是與無關的常數(shù)，當且僅當，此時.

 ②當直線與軸垂直時，可得點,，

 若，亦為常數(shù).

綜上可知，在軸上存在定點，使為常數(shù).

 

 

 

 

 

 

…3

 

 

 

…5

 

 

 

 

 

 

…7

 

 

 

…9

 

 

 

 

 

…11

 

 

 

 

 

 

 

 

…13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…16

 

 

…17

 

…18

 

20（理，滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）

解：（1）解法一：由題意，四邊形是直角梯形，且∥，

則與所成的角即為.

因為，又平面，

所以平面，則有.

    因為，,

所以，則，

即異面直線與所成角的大小為.

解法二：如圖，以為原點，直線為軸、直線為軸、直線為軸，

建立空間直角坐標系.

于是有、，則有，又

則異面直線與所成角滿足,

    所以，異面直線與所成角的大小為.

（2）解法一：由條件，過作，垂足為，聯(lián)結.

于是有，故與所成角即為.

在平面中，以為原點，直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標系. 設動點，

則有

又平面

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