例5 在一很大的湖岸邊停放著一只小船.由于纜繩突然斷開(kāi).小船被風(fēng)刮跑.其方向與湖岸成15°角.速度為2.5km/h.同時(shí)岸邊有一人,從同一地點(diǎn)開(kāi)始追趕小船.已知他在岸上跑的速度為4km/h.在水中游的速度為2km/h.,問(wèn)此人能否追上小船.若小船速度改變.則小船能被人追上的最大速度是多少? 講解: 不妨畫一個(gè)圖形,將文字語(yǔ)言翻譯為圖形語(yǔ)言, 進(jìn)而想法建立數(shù)學(xué)模型. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5 km/h，同時(shí)岸邊有一人，從同一地點(diǎn)開(kāi)始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4 km/h，在水中游的速度為2 km/h.問(wèn)此人能否追上小船?若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？

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在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h，同時(shí)岸邊有一人,從同一地點(diǎn)開(kāi)始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h.,問(wèn)此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？

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在很大的一湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑，其中方向與河岸成15°,速度為v=2.5 km/h.同時(shí)岸上有一人，從同一地點(diǎn)追趕小船，已知他在岸上跑的速度為v1=4 km/h，在水中游的速度為v2=2 km/h，問(wèn)此人能否追上小船，小船能被人追上的最大速度是多少？

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    例10  為促進(jìn)個(gè)人住房商品化的進(jìn)程，我國(guó)1999年元月公布了個(gè)人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下：

 

貸款期(年數(shù))

公積金貸款月利率(‰)

商業(yè)性貸款月利率(‰)

……

11

12

13

14

15

……

……

4.365

4.455

4.545

4.635

4.725

……

……

5.025

5.025

5.025

5.025

5.025

……


    汪先生家要購(gòu)買一套商品房，計(jì)劃貸款25萬(wàn)元，其中公積金貸款10萬(wàn)元，分十二年還清；商業(yè)貸款15萬(wàn)元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問(wèn)：
    (1)汪先生家每月應(yīng)還款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清；那么他家在這個(gè)月的還款總數(shù)是多少?
    (參考數(shù)據(jù)：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)


   講解  設(shè)月利率為r，每月還款數(shù)為a元，總貸款數(shù)為A元，還款期限為n月
　　第1月末欠款數(shù)　A(1＋r)－a
　　第2月末欠款數(shù)　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a
    第3月末欠款數(shù)　[A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a
　　　　　　　　　　�。紸(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a
　　……
　　第n月末欠款數(shù)　
    得：                                  

　　對(duì)于12年期的10萬(wàn)元貸款，n＝144，r＝4.455‰
　　∴
　　對(duì)于15年期的15萬(wàn)元貸款，n＝180，r＝5.025‰
　　∴
　　由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元．
　　(2)至12年末，汪先生家按計(jì)劃還款以后還欠商業(yè)貸款
　　　
　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰  ∴X＝41669.53
    再加上當(dāng)月的計(jì)劃還款數(shù)2210.59元，當(dāng)月共還款43880.12元．   

    需要提及的是，本題的計(jì)算如果不許用計(jì)算器，就要用到二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行估算，這在2002年全國(guó)高考第（12）題中得到考查.

    例11  醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測(cè)，病毒細(xì)胞的增長(zhǎng)數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過(guò)108的時(shí)候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%．

（1）為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物？（精確到天）

（2）第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）

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        • 
     
        
      
      
        天數(shù)t
        病毒細(xì)胞總數(shù)N
        1
        2
        3
        4
        5
        6
        7
        …
        1
        2
        4
        8
        16
        32
        64
        …
         
         
         
         
         
         
         
         
        講解 （1）由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時(shí)間n的函數(shù)為, 則由
        兩邊取對(duì)數(shù)得    n27.5,
           即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.
        （2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,
        再經(jīng)過(guò)x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,
        由題意≤108，兩邊取對(duì)數(shù)得
        ，
             故再經(jīng)過(guò)6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第33天注射藥物．
            本題反映的解題技巧是“兩邊取對(duì)數(shù)”，這對(duì)實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的.
             例12 有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)=
+［g(0)- ］?e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).
        （1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；  
        （2）求證：當(dāng)g(0)< 時(shí)，湖泊的污染程度將越來(lái)越嚴(yán)重；  
        （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過(guò)多少天才能使湖水的污染水平下降到開(kāi)始時(shí)污染水平的5%？
         講解（1）∵g(t)為常數(shù),  有g(shù)(0)-=0,
∴g(0)=   .                       
        (2) 我們易證得0<t1<t2, 則
        g(t1)-g(t2)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,
        ∵g(0)?<0,t1<t2,e>e,
        ∴g(t1)<g(t2)    .                                                       
        故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加，污染越來(lái)越嚴(yán)重.                 
        (3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)?e,設(shè)經(jīng)過(guò)t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
        ∴=e，∴t=
ln20，
        故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開(kāi)始時(shí)污染水平的5%.
        高考應(yīng)用性問(wèn)題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測(cè)計(jì)算型和信息遷移型也時(shí)有出現(xiàn).當(dāng)然,數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問(wèn)題關(guān)注當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的政治,經(jīng)濟(jì),文化, 緊扣時(shí)代的主旋律,凸顯了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線.
         
         
        		
	
	
        
		
        


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