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題目列表(包括答案和解析)

（本題12分）已知向量

    （1）求cos ()的值；

    （2）若0＜＜，＜＜0，且sin=，求sin．

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（本題12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，a2 = 3，a5 = 6，數(shù)列的前n項和是Tn，且Tn +．

（1）求數(shù)列的通項公式與前n項的和Mn；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）記cn =，求的前n項和Sn．

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（本題12分）在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC=CD=1。（1）求證：平面ACD⊥平面ABC；（2）求二面角C-AB-D的大小。

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（本題12分）設函數(shù)的定義域為A，集合，

（1）求；  （2）若，求的取值范圍。

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（本題12分）某研究所計劃利用“神七”宇宙飛船進行新產(chǎn)品搭載實驗，計劃搭載新產(chǎn)品A、B，該所要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載實驗費用和預計產(chǎn)生收益來決定具體安排，通過調查，有關數(shù)據(jù)如下表：

產(chǎn)品A（件）

產(chǎn)品B（件）

研制成本、搭載費用之和（萬元）

20

30

計劃最大資金額300萬元

產(chǎn)品重量（千克）

10

5

最大搭載重量110千克

預計收益（萬元）

80

60

如何安排這兩種產(chǎn)品的件數(shù)進行搭載，才能使總預計收益達到最大，最大收益是多少？

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一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分）

1．A    2．B    3．C    4．A    5．D    6．C    7．B    8．C    9．A

10．B   11．（理）C（文）B       12．D

二、填空題（本大題共4小題，每題4分，共16分）

13．                            14．②③                  15．47                     16．□

三、解答題（本大題共6小題，共計76分）

17．解：（1）依題意函數(shù)的圖象按向量平移后得

                                                ………………………2分

       即=                                                ………………………4分

       又

       比較得a=1，b=0                                                                     ………………………6分

   （2）

       =                                                              ………………………9分

      

      

       ∴的單調增區(qū)間為[，]          ……………………12分

18．解：

   （1）設連對的個數(shù)為y，得分為x

       因為y=0，1，2，4，所以x=0，2，4，8.

      

x

0

2

4

8

   

       于是x的分布列為


   

    
    

    
……9分
 
 
   （2）Ex=0×+2×+4×+8×=2
       即該人得分的期望為2分。                                                     ……………………12分
   （文）
   （1）從口袋A中摸出的3個球為最佳摸球組合即為從口袋A中摸出2個紅球和一個黑球
       其概念為                                                     ……………………6分
   （2）由題意知：每個口袋中摸球為最佳組合的概率相同，從5個口袋中摸球可以看成5
       次獨立重復試驗，故所求概率為………………………12分
19．解法一：以D為原點，DA，DC，DD1
       所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建
       立空間直角坐標系D―xyz，則
       A（a，0，0）、B（a，2a，0）、
       C（0，2a，0）、A1（a，0，a）、
       D1（0，0，a）。E、P分別是BC、A1D1
       的中點，M、N分別是AE、CD1的中點
       ∴……………………………………2分
  
（1）⊥面ADD1A1
       而=0，∴⊥，又∵MN面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1；………4分
  
（2）設面PAE的法向量為，又
       則又
       ∴=（4，1，2），又你ABCD的一個法向量為=（0，0，1）
       ∴
       所以二面角P―AE―D的大小為                        ………………………8分
  
（3）設為平面DEN的法向量⊥，⊥
       又=（），=（0，a，），（，0，a）
       ∴所以面DEN的一個法向量=（4，-1，2）
       ∵P點到平面DEN的距離為
       ∴
       
       所以                                              ……………………12分
       解法二：
   （1）證明：取CD的中點為K，連接
       ∵M，N，K分別為AE，CD1，CD的中點
       ∴MK∥AD，ND∥DD1，∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1
       ∴面MNK∥面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1，                      ………………………4分
   （2）設F為AD的中點，∵P為A1D1的中點
       ∴PF∥DD1，PF⊥面ABCD
       作FH⊥AE，交AE于H，連結PH，則由三垂
       線定理得AE⊥PH，從而∠PHF為二面角
       P―AE―D的平面角。
       在Rt△AAEF中，AF=，EF=2，AE=，
       從而FH=
       在Rt△PFH中，tan∠PHF=
       故：二面角P―AE―D的大小為arctan
   （3）
       作DQ⊥CD1，交CD1于Q，
       由A1D1⊥面CDD1C1，得A1D1⊥DQ，∴DQ⊥面BCD1A1。
       在Rt△CDD1中，
       ∴  ……………………12分
20．解：（理）
  
（1）函數(shù)的定義域為（0，+）
       當a=-2e時，              ……………………2分
       當x變化時，，的變化情況如下：
（0，）
（，+）
―
0
＋
ㄋ
極小值
ㄊ
       由上表可知，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（0，）
       單調遞增區(qū)間為（，+）
       極小值是（）=0                                                            ……………………6分
  
（2）由           ……………………7分
       又函數(shù)為[1，4]上單調減函數(shù)，
       則在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立。
       即在,[1，4]上恒成立                                           ……………………10分
       又=在[1，4]上為減函數(shù)
       ∴的最小值為
       ∴                                                                            ……………………12分
  （文）（1）∵函數(shù)在[0，1]上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，
       ∴x=1時，取得極大值，
       ∴
       ∴4-12+2a=0a=4                                                                 ………………………4分
   （2）A（x0，f（x0））關于直線x=1的對稱點B的坐標為（2-
x0，f（x0）
       
       =
       ∴A關于直線x=1的對稱點B也在函數(shù)的圖象上            …………………8分
   （3）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個交點，等價于方程
       恰有3個不等實根，
       
       ∵x=0是其中一個根，
       ∴方程有兩個非零不等實根
                                       ……………………12分
21．解：（理）（1）由已知得：
               
       ∵                                                     ①…………………2分
       ∴                                                                 ②
       ②―①
       即
       又
       ∴                                                                      ……………………5分
       ∴{an}成等差數(shù)列，且d=1，又a1=1，∴…………………6分
  
（2）∵
       ∴
       ∴                   …………………8分
       兩式相減
       
       ∴                                                          ……………………10分
       ∴               ……………………12分
   （文）（1）由已知得：
       
       ∴
       ∵                                                     ①…………………2分
       ∴                                                                 ②
       ②―①
       即
       又
       ∴                                                                      ……………………5分
       ∴{an}成等差數(shù)列，且d=1，又a1=1，∴…………………6分
   （2）∵
       ∴
       ∴                   …………………8分
       兩式相減
       
       ∴                                                          ……………………10分
       ∴               ……………………12分
 
22．解：（1）
       設M（x，y）是曲線C上任一點，因為PM⊥x軸，
       所以點P的坐標為（x，3y）                                                   …………………2分
       點P在橢圓，所以
       因此曲線C的方程是                                           …………………5分
   （2）當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件
       所以設直線l的方程為與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），N點所在直線方
       程為
       ，由得
                                               ……………………6分
       由△=………………8分
       ∵,所以四邊形OANB為平行四邊形               …………………9分
       假設存在矩形OANB，則
       
       所以
       即                                                                   ……………………11分
       設N（），由，得
       ，
       即N點在直線
       所以存在四邊形OANB為矩形，直線l的方程為 ……………………14分
		

	
	

		



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