（2013•嘉定區(qū)二模）如圖，已知點F（0，1），直線m：y=-1，P為平面上的動點，過點P作m的垂線，垂足為點Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）（文）過軌跡C的準(zhǔn)線與y軸的交點M作方向向量為

d

=（a，1）的直線m′與軌跡C交于不同兩點A、B，問是否存在實數(shù)a使得FA⊥FB？若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明理由；
（3）（文）在問題（2）中，設(shè)線段AB的垂直平分線與y軸的交點為D（0，y₀），求y₀的取值范圍．

（2008•普陀區(qū)一模）定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{a_n}的首項、公比均為

1

2

．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a_3k-1}（k∈N^*）各項的和；
（2）是否存在數(shù)列{a_n}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為

1

7

？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設(shè)計一個數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

（2008•普陀區(qū)二模）已知點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），直線EP，F(xiàn)P相交于點P，且它們的斜率之積為-

1

4

．
（1）求證：點P的軌跡在橢圓C：

x2

4

+y2=1上；
（2）設(shè)過原點O的直線AB交（1）題中的橢圓C于點A、B，定點M的坐標(biāo)為(1，

1

2

)，試求△MAB面積的最大值，并求此時直線AB的斜率k_AB；
（3）某同學(xué)由（2）題結(jié)論為特例作推廣，得到如下猜想：
設(shè)點M（a，b）（ab≠0）為橢圓C：

x2

4

+y2=1內(nèi)一點，過橢圓C中心的直線AB與橢圓分別交于A、B兩點．則當(dāng)且僅當(dāng)k_OM=-k_AB時，△MAB的面積取得最大值．
問：此猜想是否正確？若正確，試證明之；若不正確，請說明理由．