已知是公差為d的等差數列，是公比為q的等比數列

（Ⅰ）若 ，是否存在，有？請說明理由；

（Ⅱ）若（a、q為常數，且aq0）對任意m存在k，有，試求a、q滿足的充要條件；

（Ⅲ）若試確定所有的p,使數列中存在某個連續(xù)p項的和式數列中的一項，請證明.

【解析】第一問中，由得，整理后，可得、，為整數不存在、，使等式成立。

（2）中當時，則

即，其中是大于等于的整數

反之當時，其中是大于等于的整數，則，

顯然，其中

、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數

（3）中設當為偶數時，式左邊為偶數，右邊為奇數，

當為偶數時，式不成立。由式得，整理

當時，符合題意。當，為奇數時，

結合二項式定理得到結論。

解（1）由得，整理后，可得、，為整數不存在、，使等式成立。

（2）當時，則即，其中是大于等于的整數反之當時，其中是大于等于的整數，則，

顯然，其中

、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數

（3）設當為偶數時，式左邊為偶數，右邊為奇數，

當為偶數時，式不成立。由式得，整理

當時，符合題意。當，為奇數時，

   由，得

當為奇數時，此時，一定有和使上式一定成立。當為奇數時，命題都成立

 

已知正數數列{a_n }中，a₁ =2.若關于x的方程 （）對任意自然數n都有相等的實根．

(1)求a₂ ,a₃的值；

(2)求證

【解析】(1)中由題意得△，即,進而可得,. 

(2)中由于，所以，因為，所以數列是以為首項，公比為2的等比數列，知數列是以為首項，公比為的等比數列，利用裂項求和得到不等式的證明。

(1)由題意得△，即,進而可得   

(2)由于，所以，因為，所以數列是以為首項，公比為2的等比數列，知數列是以為首項，公比為的等比數列，于是

,

所以

 

袋子中裝有大小形狀完全相同的m個紅球和n個白球，其中m，n滿足m>n≥2且m+n≤l0（m，n∈N⁺），若從中取出2個球，取出的2個球是同色的概率等于取出的2個球是異色的概率．

(Ⅰ) 求m，n的值；

(Ⅱ) 從袋子中任取3個球，設取到紅球的個數為，求的分布列與數學期望．

【解析】第一問中利用,解得m=6，n=3.

第二問中，的取值為0，1，2，3. P（=0）= ，     P（=1）=

P（=2）= ，   P（=3）=

得到分布列和期望值

解：（I）據題意得到        解得m=6，n=3.

（II）的取值為0，1，2，3.

P（=0）= ，     P（=1）=

P（=2）= ，   P（=3）=

的分布列為

所以E=2

 

已知函數的圖象經過點．

（Ⅰ）求的表達式及其導數； 

（Ⅱ）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值．

【解析】第一問由題意，  ∴  ∴

   ∴，

第二問令

  ∵，，，

 ∴在閉區(qū)間上的最大值是，最小值是．

 

已知函數,曲線在點處的切線為，若時，有極值.

（1）求的值；

（2）求在上的最大值和最小值.

【解析】（1）根據可建立關于a,b,c的三個方程，解方程組即可.

（2）在（1）的基礎上，利用導數列表求極值，最值即可.