已知中心在原點O，焦點F₁、F₂在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C（2，2），且拋物線的焦點為F₁.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。第一問中，設(shè)出橢圓的方程，然后結(jié)合拋物線的焦點坐標(biāo)得到，又因為，這樣可知得到。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到

，再利用可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m，……………5分

 代入橢圓E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當(dāng)m=3時，直線l方程為y=-x+3，此時，x₁ +x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，

圓P的方程為（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，當(dāng)m=－3時，直線l方程為y=-x－3，

圓P的方程為（x+2）²+(y+1)²=4

 

已知橢圓C中心在坐標(biāo)原點O焦點在x上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C左、右焦點，M橢圓短軸的一個端點，過F₁的直線l橢圓交于A、B兩點，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點Q的坐標(biāo)為（1，0）存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切．若存在，求出點P坐標(biāo)及圓的方程；若不存在，請說明理由．

已知橢圓C₁的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，離心率為e=

3

2

，點P為橢圓上一動點，點F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，且△PF₁F₂面積的最大值為

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓短軸的上端點為A，點M為動點，且

1

5

|

F2A

|²，

1

2

F2M

•

AM

，

AF1

•

OM

成等差數(shù)列，求動點M的軌跡C₂的方程．

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，兩焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率為

1

2

，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊
形周長等于8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）M、N是直線x=4上的兩個動點，且

F1M

-

F2N

=0．設(shè)E是以MN為直徑的圓，試判斷原點O與圓E的位置關(guān)系．