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題目列表(包括答案和解析)

精英家教網(wǎng)A.(選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知點(diǎn)A是曲線ρ=2sinθ上任意一點(diǎn),則點(diǎn)A到直線ρsin(θ+
π3
)=4
的距離的最小值是
 

B.(選修4-5不等式選講)不等式|x-log2x|<x+|log2x|的解集是
 

C.(選修4-1幾何證明選講)如圖所示,AC和AB分別是圓O的切線,且OC=3,AB=4,延長AO到D點(diǎn),則△ABD的面積是
 

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精英家教網(wǎng)A.選修4-1:幾何證明選講
銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O,∠ABC=60?,∠BAC=40?,作OE⊥AB交劣弧
AB
于點(diǎn)E,連接EC,求∠OEC.
B.選修4-2:矩陣與變換
曲線C1=x2+2y2=1在矩陣M=[
12
01
]的作用下變換為曲線C2,求C2的方程.
C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
P為曲線C1
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù))上一點(diǎn),求它到直線C2
x=1+2t
y=2
(t為參數(shù))距離的最小值.
D.選修4-5:不等式選講
設(shè)n∈N*,求證:
C
1
n
+
C
2
N
+L+
C
N
N
n(2n-1)

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精英家教網(wǎng)A.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,弧AB=弧AD,過A點(diǎn)的切線交CB的延長線于E點(diǎn).
求證:AB2=BE•CD.
B.已知矩陣M
2-3
1-1
所對(duì)應(yīng)的線性變換把點(diǎn)A(x,y)變成點(diǎn)A′(13,5),試求M的逆矩陣及點(diǎn)A的坐標(biāo).
C.已知圓的極坐標(biāo)方程為:ρ2-4
2
ρcos(θ-
π
4
)+6=0

(1)將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)P(x,y)在該圓上,求x+y的最大值和最小值.
D.解不等式|2x-1|<|x|+1.

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A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,直角△ABC中,∠B=90°,以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).
求證:DE是⊙O的切線.
B.選修4-2:矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值-1及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為
1
-4
,點(diǎn)P(2,-1)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)P′(5,1),求矩陣A.
C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-
π
4
)=
2
,曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=sinα
(α為參數(shù)),求曲線C截直線l所得的弦長.
D.選修4-5:不等式選講
已知a,b,c都是正數(shù),且abc=8,求證:log2(2+a)+log2(2+b)+log2(2+c)≥6.

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A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)E,∠BAC的平分線與BC
交于點(diǎn)D.求證:ED2=EB•EC.
B.選修4-2:矩陣與變換
求矩陣M=
-14
26
的特征值和特征向量.
C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中,直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ,直線l與曲線C交于點(diǎn).A,B,C,求線段AB的長.
D.選修4-5:不等式選講
對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-y+1|的最大值.

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一.選擇題:CCBAB BBADA

解析:1:由映射概念可知可得.故選.

2:如圖,+3,在中,由余弦定理得|+3|=||=,故選C。

3:取,由圖象可知,此時(shí)注水量大于容器容積的,故選B。

4:因為三角形中的最小內(nèi)角,故,由此可得y=sinx+cosx>1,排除B,C,D,故應(yīng)選A。

5:取x=4,y=?100%≈-8.3%,排除C、D;取x=30,y = ?100%≈77.2%,排除A,故選B。

6:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=n2+(a1-)n可表示為過原點(diǎn)的拋物線,又本題中a1=-9<0, S3=S7,可表示如圖,由圖可知,n=,是拋物線的對(duì)稱軸,所以n=5是拋物線的對(duì)稱軸,所以n=5時(shí)Sn最小,故選B。

7:∵A,B是一對(duì)矛盾命題,故必有一真,從而排除錯(cuò)誤支C,D。又由ab<0,可令a=1,b= -1,代入知B為真,故選B。

8:借助立體幾何的兩個(gè)熟知的結(jié)論:(1)一個(gè)正方體可以內(nèi)接一個(gè)正四面體;(2)若正方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則正方體的對(duì)角線就是球的直徑?梢钥焖偎愠銮虻陌霃,從而求出球的表面積為,故選A。

9:分析選擇支可知,四條曲線中有且只有一條曲線不符合要求,故可考慮找不符合條件的曲線從而篩選,而在四條曲線中②是一個(gè)面積最大的橢圓,故可先看②,顯然直線和曲線是相交的,因?yàn)橹本上的點(diǎn)在橢圓內(nèi),對(duì)照選項(xiàng)故選D。

10:,從而對(duì)任意的,存在唯一的,使得為常數(shù)。充分利用題中給出的常數(shù)10,100。令,當(dāng)時(shí),,由此得故選A。

二.填空題:11、;   12、;   13、;

14、;  15、;

解析:11:不等式等價(jià)于,也就是,所以,從而應(yīng)填

12: ,不論的值如何,同號(hào),所以

13:題設(shè)條件等價(jià)于點(diǎn)(0,1)在圓內(nèi)或圓上,或等價(jià)于點(diǎn)(0,1)到圓的圓心的距離不超過半徑,∴。

14.解:由正弦定理得,∴所求直線的極坐標(biāo)方程為.

 

15.解:,

 

三.解答題:

16.解:(Ⅰ)函數(shù) 要有意義需滿足:,解得,   …………………………………3分

函數(shù)要有意義需滿足,即,

解得  …………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,

,………………………12分

 

17.解:(I)因?yàn)?sub>是等比數(shù)列,

       又…………………………………………2分

      

       ∴是以a為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.………………………………6分

   (II)(I)中命題的逆命題是:若是等比數(shù)列,則也是等比數(shù)列,是假命題.

                           ……………………………………………………………8分

       設(shè)的公比為

       又

       是以1為首項(xiàng),q為公比的等比數(shù)列,

       是以為首項(xiàng),q為公比的等比數(shù)列.……………………10分

       即為1,a,q,aqq2,aq2,…

       但當(dāng)qa2時(shí),不是等比數(shù)列

       故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分

       另解:取a=2,q=1時(shí),

      

       因此是等比數(shù)列,而不是等比數(shù)列.

       故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分

 

18.解:(1)設(shè)選對(duì)一道“可判斷2個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”題目為事件A,“可判斷1個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”該題選對(duì)為事件B,“不能理解題意的”該題選對(duì)為事件C.則---

所以得40分的概率………………………………4分

(2) 該考生得20分的概率=……………………5分

該考生得25分的概率:

=  ……………………6分

該考生得30分的概率:==   --------------7分

該考生得35分的概率:

=            ……………………9分

  ∴該考生得25分或30分的可能性最大………………………………11分

(3)該考生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望=

………………………………14分

19.解:(Ⅰ)由知圓心C的坐標(biāo)為--------------(1分)

∵圓C關(guān)于直線對(duì)稱

∴點(diǎn)在直線上  -----------------(2分)

即D+E=-2,------------①且-----------------②-----------------(3分)

又∵圓心C在第二象限   ∴  -----------------(4分)

由①②解得D=2,E=-4     -----------------(5分)

∴所求圓C的方程為:  ------------------(6分)

  (Ⅱ)切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零,設(shè)  -----------(7分)

        圓C:

圓心到切線的距離等于半徑,

                   

。                    ------------------(12分)

所求切線方程     ------------------(14分)

 

20.(Ⅰ)證明:在正方體中,∵平面∥平面

      平面平面,平面平面

      ∴.-------------------------------------3分

 (Ⅱ)解:如圖,以D為原點(diǎn)分別以DA、DC、DD1

x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則有

D1(0,0,2),E(2,1,2),F(xiàn)(0,2,1),

      設(shè)平面的法向量為

     則由,和,得,

     取,得,,∴ ------------------------------6分

又平面的法向量為(0,0,2)

;

    ∴截面與底面所成二面角的余弦值為. ------------------9分

(Ⅲ)解:設(shè)所求幾何體的體積為V,

        ∵,,,

        ∴,

       ∴,

--------------------------11分

故V棱臺(tái)

                        

     ∴V=V正方體-V棱臺(tái). ------------------14分

 

21.解:(Ⅰ)由題意,在[]上遞減,則解得

所以,所求的區(qū)間為[-1,1]         ………………………4分

(Ⅱ)取,即不是上的減函數(shù)。

,

不是上的增函數(shù)

所以,函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,從而該函數(shù)不是閉函數(shù)。-------9分

(Ⅲ)若是閉函數(shù),則存在區(qū)間[],在區(qū)間[]上,函數(shù)的值域?yàn)閇],即,為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根。

當(dāng)時(shí),有,解得。

當(dāng)時(shí),有,無解。

綜上所述,---------------------------------------------14分


同步練習(xí)冊答案