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（13分）國際上鉆石的重量計量單位為克拉。已知某種鉆石的價值V（美元）與其重量(克拉)的平方成正比，且一顆為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元.

（1）寫出V關于的函數關系式；

（2）若把一顆鉆石切割成重量比為1∶3的兩顆鉆石，求價值損失的百分率；

（3）試用你所學的數學知識證明：把一顆鉆石切割成兩顆時，按重量比為1∶1切割，價值損失的百分率最大.

（價值損失的百分率=；切割中重量損耗不計）

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國際上鉆石的重量計量單位為克拉，已知某種鉆石的價值v（美元）與其重量w（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元．
（I）寫出v關于w的函數關系式；
（II）若把一顆鉆石切割成重量比為1：x（x≥1）的兩顆鉆石，價值損失的百分率為y，寫出y關于x的函數關系式；
（III）試證明：把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時，按重量比為1：1切割，價值損失的百分率最大．
（注：價值損失的百分率=×100%，在切割過程中的重量損耗忽略不計）

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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.

1.         2.       3.         4.25         5.         6.

7.            8.③               9.6              10.50%(填0.5，都算對)

11.          12.＜              13.12             14.或

二、解答題：本大題共6小題，計90分.

15.解:（Ⅰ）當時，點P共有28個，而滿足的點P有19個，

從而所求的概率為………………………………………………………………………(7分)

   （Ⅱ）當時,由構成的矩形的面積為,而滿足

的區(qū)域的面積為，故所求的概率為……………………………………(14分)

16.證:(Ⅰ)連接交于,連接.

∵分別是的中點，∴∥且=,∴四邊形是矩形.

∴是的中點………………………………………………………………………………(3分)

又∵是的中點,∴∥……………………………………………………………(5分)

則由,,得∥………………………………………(7分)

(注:利用面面平行來證明的,類似給分)

(Ⅱ) ∵在直三棱柱中，⊥底面,∴⊥.

又∵,即⊥,∴⊥面………………………(9分)

而面,∴⊥……………………………………………………………(12分)

又,∴平面……………………………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)由,得

,所以………………………………………………(4分)

則,所以……………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)方案一：選擇①③.

∵A=30°,a=1,2c-(+1)b=0，所以，則根據余弦定理，

得，解得b=,則c=…………………(11分)

∴…………………………………(14分)

方案二：選擇②③. 可轉化為選擇①③解決,類似給分.

(注：選擇①②不能確定三角形)

18. 解:（Ⅰ）,即,

  ,準線,……………………………………………………(2分)

  設⊙C的方程為,將O、F、A三點坐標代入得：

,解得………………………………………………………(4分)

∴⊙C的方程為……………………………………………………(5分)

（Ⅱ）設點B坐標為,則,整理得：

對任意實數都成立……………………………………………(7分)

∴,解得或,

故當變化時，⊙C經過除原點O外的另外一個定點B……………………………(10分)

（Ⅲ）由B、、得,

 ∴,解得……………………………………………(12分)

   又 ,∴………………………………………………………………(14分)

又橢圓的離心率（）……………………(15分)

 ∴橢圓的離心率的范圍是………………………………………………………(16分)

19. (Ⅰ)證:因為對任意正整數，總成立,

令，得,則…………………………………………(1分)

令，得  (1) , 從而   (2),

(2)－(1)得,…………………………………………………………………(3分)

綜上得,所以數列是等比數列…………………………………………(4分)

（Ⅱ）正整數成等差數列，則,所以,

則……………………………………………………(7分)

①當時，………………………………………………………………(8分)

②當時，…………………………(9分)

③當時，……………………(10分)

（Ⅲ）正整數成等比數列，則,則,

所以，……………(13分)

①當,即時，……………………………………………(14分)

②當,即時，………………………………(15分)

③當,即時，………………………………(16分)

20. 解: (Ⅰ)當時,.

因為當時,,,

且,

所以當時,,且……………………………………(3分)

由于,所以,又,

故所求切線方程為,

即…………………………………………………………………(5分)

   (Ⅱ) 因為,所以,則  

當時,因為,,

所以由,解得,

從而當時, ……………………………………………(6分)

①     當時,因為,,

所以由,解得,

從而當時, …………………………………………(7分)

③當時,因為,

從而 一定不成立………………………………………………………………(8分)

綜上得,當且僅當時,,

故 …………………………………………(9分)

從而當時,取得最大值為…………………………………………………(10分)

(Ⅲ)“當時,”等價于“對恒成立”,

即“(*)對恒成立” ……………………………………(11分)

①     當時,,則當時,,則(*)可化為

,即,而當時,,

所以,從而適合題意………………………………………………………………(12分)

②     當時,.

⑴     當時,(*)可化為,即,而,

所以,此時要求

…………………………………………………………(13分)

⑵        當時,(*)可化為,

所以,此時只要求………………………………………………………(14分)

(3)當時,(*)可化為,即,而,

所以,此時要求…………………………………………………………(15分)

由⑴⑵⑶,得符合題意要求.

 綜合①②知,滿足題意的存在,且的取值范圍是………………………………(16分)

數學附加題部分

21.A.解：因為PA與圓相切于點A,所以.而M為PA的中點,

所以PM=MA,則.

又,所以,所以……………………(5分)

在中,由,

即,所以,

從而……………………………………………………………………………(10分)

B．解:,所以=……………………………(5分)

即在矩陣的變換下有如下過程,,

則,即曲線在矩陣的變換下的解析式為……(10分)

C．解:由題設知,圓心,故所求切線的直角坐標方程

為……………………………………………………………………………(6分)

      從而所求切線的極坐標方程為………………………………(10分)

D．證:因為,利用柯西不等式,得…………………………(8分)

  即………………………………………………………………………(10分)

22．解: (Ⅰ)以A為原點,AB、AC、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A－xyz，

則A(0，0，0),B(2，0，0),C(0，2，0),E(0，1，0),P(0，0，1),

所以,……………………………(4分)

故異面直線BE與PC所成角的余弦值為……………………………………(5分)

(Ⅱ)作PM⊥BE交BE(或延長線)于M,作CN⊥BE交BE(或延長線)于N,

則存在實數m、n,使得,即

因為,所以