題目列表(包括答案和解析)
①若α∥β,aα,則a∥β;
②bβ,a與b所成角的大小為θ,則a與β所成角的大小也為θ;
③若α⊥β,a⊥α,則a∥β;
④若a、b為異面直線,且a、bα,則a、b在α上的射影為兩條相交直線.
其中正確命題的序號為__________.(注:把你認為正確的命題序號都寫上)
已知命題:“對任意, 都有”;命題:“空間兩條直線為異面直線的充要條件是它們不同在任何一個平面內(nèi)”.則
A. 命題“”為真命題 B. 命題“”為假命題
C. 命題“”為真命題 D. 命題“”為真命題
已知兩條異面直線a與b所成的角為50°,P為空間一點,則過P點且與a,b所成的角都是30°的直線有且僅有( )
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D
13.270 14. 15. 16.
17.解:(1)a?b=cosx?cos-sinx?sin=cos 2x.2分
|a+b|===2.4分
又∵x∈[0,],∴cos x>0,∴|a+b|=2cos x.5分
(2)f(x)=cos 2x-4λcos x,
即f(x)=2(cos x-λ)2-1-2λ2.6分
①當(dāng)0≤λ≤1時,當(dāng)且僅當(dāng)cos x=λ時,f(x)取得最小值-1-2λ2,
∴-1-2λ2=-,解得λ=.8分
②當(dāng)λ>1時,當(dāng)且僅當(dāng)cos x=1時,f(x)取得最小值1-4λ,
∴1-4λ=-,解得λ=(舍).10分
③當(dāng)λ<0時,當(dāng)且僅當(dāng)cos x=0時,f(x)取得最小值-1,無解.11分
綜上所述,λ=為所求.12分
18.解:(1)設(shè)箱子內(nèi)裝著n個寫有數(shù)字“
則=.2分
解得n=4.4分
∴該箱子內(nèi)裝有4個寫有數(shù)字“08”的球.
(2)當(dāng)游戲結(jié)束時,總?cè)∏驍?shù)為1的概率是;6分
當(dāng)游戲結(jié)束時,總?cè)∏驍?shù)為2的概率是×=;8分
當(dāng)游戲結(jié)束時,總?cè)∏驍?shù)為3的概率是××=;10分
∴當(dāng)游戲結(jié)束時,總?cè)∏驍?shù)不多于3的概率是.12分
19.解:(1)延長CG交AB于N,∵G是△ABC的重心,∴N是AB的中點.1分
∵∠ACB=90°,∴CN=AB=6,∴CG=CN=4.2分
而DC⊥平面ABC,∴三角形DCG是等腰直角三角形,
即直線DG與平面ABC所成的角為45°.4分
(2)作ME∥GC交DC于E,∴∠EMB是異面直線GC與BM所成的角或補角.5分
∵M是DG的中點,ME=GC=2,
BE===2.6分
過M作MH⊥GC于H,MH⊥平面ABC,∴MH=2,
∴MB2=MH2+HB2=4+4+36-2?2?6?cos 60°=32,
∴cos∠EMB==-.7分
∴異面直線GC與BM所成的角為arccos.8分
(2)過B作直線BF⊥GC于F, BF⊥平面GMC.9分
∵△CNB是正三角形,故BF=BCcos 30°=3,過F作FS⊥MC于S,連BS,三角形DCG是等腰直角三角形.10分
M為GD的中點,∴GD⊥CM,
∴FS∥GD,F(xiàn)S=FCsin 45°=.11分
∴tan∠FSB==,
∴二面角B―MC―G的大小是arctan.12分
20.解:(1)由函數(shù)f(x)=-x4+x3+ax2-2x-2在區(qū)間[-1,1]上是單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,所以x=1取得極小值.1分
∴f′(1)=0,∴-1+2+
∴a=.4分
(2)由(1)知f(x)=-x4+x3+x2-2x-2,
∴f′(x)=-x3+2x2+x-2.5分
令f′(x)=0,得x=-1,x=1,x=2.6分
∴函數(shù)f(x)有極大值f(-1)=-,f(2)=-,極小值f(1)=-.8分
∵關(guān)于x的方程f(2x)=m有三個不同的實數(shù)解,令2x=t(t>0),
即關(guān)于t的方程f(t)=m在t∈(0,+∞)上有三個不同的實數(shù)解.9分
在t∈(0,+∞)上y=f(t)與y=f(x)圖象一致.11分
又f(0)=-2,由數(shù)形結(jié)合可知,-<m<-.12分
21.解:(1)由An=(an-1),An+1=(an+1-1).1分
∴an+1=(an+1-an),即=3,2分
且a1=A1=(a1-1),
得a1=3.3分
∴數(shù)列{an}是以3為首項,3為公比的等比數(shù)列.4分
通項公式為an=3n.5分
(2)不妨設(shè)數(shù)列{dn}中的第n項分別是數(shù)列{an}的第p項和數(shù)列{bn}的第q項,即3p=4q+3.6分
所以(4-1)p=4q+3.7分
∴C4p+C4p-1(-1)1+…+C4?(-1)p-1+C(-1)p=4q+3.8分
4q=4k+(-1)p-3,(k∈Z,p,q∈Z*).9分
p為奇數(shù),當(dāng)p=1時,q=0(舍去).10分
∴p=2n+1,所以dn=a2n+1=32n+1.12分
22.解:(1)由|PF1|-|PF2|=2<|F
故軌跡S的方程為x2-=1(x≥1).4分
(2)當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線方程為y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2)與雙曲線方程聯(lián)立消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.5分
∴解得k2>3.6分
∵?=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)
=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2
=+m2.7分
∵MP⊥MQ,∴?=0,
故得3(1-m2)+k2(m2-
∴解得m=-1.8分
當(dāng)m=-1時,MP⊥MQ,當(dāng)直線l的斜率不存在時,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知結(jié)論也成立.
綜上,當(dāng)m=-1時,MP⊥MQ.9分
(3)∵a=1,c=2,∴x=是雙曲線的右準(zhǔn)線.10分
由雙曲線定義得:|PA|=|PF2|=|PF2|,|QB|=|QF2|.
(法一)∴λ==
===11分
∵k2>3,∴0<< ,故<λ<.12分
注意到直線的斜率不存在時,|PQ|=|AB|,此時,λ=.13分
綜上,λ∈[,).14分
(法二)設(shè)直線PQ的傾斜角為θ,由于直線PQ與雙曲線右支有二個交點,
∴<θ<,過Q作QC⊥PA,垂足為C,則∠PQC=|-θ|,
∴λ====.12分
由<θ<得,<sin θ≤1,故λ∈[,].14分
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