10、一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s²的加速度開始行駛，恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車。試求：

(1)　　　　　　　 汽車從路口開動后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠(yuǎn)？此時距離是多少？

(2)　　　　　　　 什么時候汽車追上自行車，此時汽車的速度是多少？

解析：解法一：汽車開動后速度由零逐漸增大，而自行車的速度是定值。當(dāng)汽車的速度還小于自行車速度時，兩者的距離將越來越大，而一旦汽車速度增加到超過自行車速度時，兩車距離就將縮小。因此兩者速度相等時兩車相距最大，有，所以，　　

解法二：用數(shù)學(xué)求極值方法來求解

(1)　　　 設(shè)汽車在追上自行車之前經(jīng)過t時間兩車相距最遠(yuǎn)，

因?yàn)?sub>

所以，由二次函數(shù)求極值條件知，時，最大

即

(2)汽車追上自行車時，二車位移相等，則

　 ,　

解法三：用相對運(yùn)動求解更簡捷

選勻速運(yùn)動的自行車為參考系，則從運(yùn)動開始到相距最遠(yuǎn)這段時間內(nèi)，汽車相對此參考系的各個物理量為：

初速度v₀ = v_汽初－v_自 =(0－6)m/s　 = －6m/s

末速度v_t = v_汽末－v_自 =(6－6)m/s　 = 0

加速度 a = a_汽－a_自 =(3－0)m/s²　 = 3m/s²

所以相距最遠(yuǎn) s=　 =－6m(負(fù)號表示汽車落后)

解法四：用圖象求解

(1)自行車和汽車的v-t圖如圖，由于圖線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積表示位移的大小，所以由圖上可以看出：在相遇之前，在t時刻兩車速度相等時，自行車的位移(矩形面積)與汽車的位移(三角形面積)之差(即斜線部分)達(dá)最大，所以

t=v_自/a=s=2s

△s= vt－at²/2 =(6×2－3×2²/2)m= 6m

(2)由圖可看出：在t時刻以后，由v_自或與v_汽線組成的三角形面積與標(biāo)有斜線的三角形面積相等時，兩車的位移相等(即相遇)。所以由圖得相遇時，t’= 2t = 4s，v’= 2v_自=12m/s

答案 (1)2s 6m　　 (2)12m/s

8、摩托車在平直公路上從靜止開始起動，a₁=1.6m/s2，稍后勻速運(yùn)動，然后減速，a₂=6.4m/s2，直到停止，共歷時130s，行程1600m。試求：

(1)　　　 摩托車行駛的最大速度v_m；

(2)　　　 若摩托車從靜止起動，a₁、a₂不變，直到停止，行程不變，所需最短時間為多少？

分析：(1)整個運(yùn)動過程分三個階段：勻加速運(yùn)動；勻速運(yùn)動；勻減速運(yùn)動�？山柚鷙-t圖象表示。

(2)首先要回答摩托車以什么樣的方式運(yùn)動可使得時間最短。借助v-t圖象可以證明：當(dāng)摩托車以a₁勻加速運(yùn)動，當(dāng)速度達(dá)到v^/_m時，緊接著以a₂勻減速運(yùn)動直到停止時，行程不變，而時間最短

解：(1)如圖所示，利用推論v_t²-v₀²=2as有：+(130-)v_m+=1600.其中a₁=1.6m/s²,a₂=6.4m/s².解得：v_m=12.8m/s(另一解舍去).

(2)路程不變，則圖象中面積不變，當(dāng)v越大則t越小，如圖所示.設(shè)最短時間為t_min，則t_min=　 ①=1600　 ②

其中a₁=1.6m/s²,a₂=6.4m/s².由②式解得v_m=64m/s，故t_min=.既最短時間為50s.

答案：(1)12.8m/s　 (2)50s

9一平直的傳送以速率v=2m/s勻速行駛，傳送帶把A處的工件送到B處，A、B兩處相距L=10m，從A處把工件無初速度地放到傳送帶上，經(jīng)時間t=6s能傳送到B處，欲使工件用最短時間從A處傳送到B處，求傳送帶的運(yùn)行速度至少應(yīng)多大？

解析：物體在傳送帶上先作勻加速運(yùn)動，當(dāng)速度達(dá)到v=2m/s后與傳送帶保持相對靜止，作勻速運(yùn)動.設(shè)加速運(yùn)動時間為t，加速度為a，則勻速運(yùn)動的時間為(6-t)s，則：

v=at �、佟�

s₁=at²　 ②

s₂=v(6-t) �、�

s₁+s₂=10　 ④

聯(lián)列以上四式，解得t=2s,a=1m/s²

物體運(yùn)動到B處時速度即為皮帶的最小速度

由v²=2as　 　得v=m/s

傳送帶給物體的滑動摩擦力提供加速度，即此加速度為物體運(yùn)動的最大加速度.要使物體傳送時間最短，應(yīng)讓物體始終作勻加速運(yùn)動

7、天文觀測表明，幾乎所有遠(yuǎn)處的恒星(或星系)都在以各自的速度背離我們而運(yùn)動，離我們越遠(yuǎn)的星體，背離我們運(yùn)動的速度(稱為退行速度)越大；也就是說，宇宙在膨脹，不同星體的退行速度v和它們離我們的距離r成正比，即v=Hr。式中H為一常量，稱為哈勃常數(shù)，已由天文觀察測定，為解釋上述現(xiàn)象，有人提供一種理論，認(rèn)為宇宙是從一個大爆炸的火球開始形成的，假設(shè)大爆炸后各星體即以不同的速度向外勻速運(yùn)動，并設(shè)想我們就位于其中心，則速度越大的星體現(xiàn)在離我們越遠(yuǎn)，這一結(jié)果與上述天文觀測一致。

　 由上述理論和天文觀測結(jié)果，可估算宇宙年齡T，其計(jì)算式如何？根據(jù)近期觀測，哈勃常數(shù)H=3×10^-2m/(s 光年)，其中光年是光在一年中行進(jìn)的距離，由此估算宇宙的年齡約為多少年？

解析：由題意可知，可以認(rèn)為宇宙中的所有星系均從同一點(diǎn)同時向外做勻速直線運(yùn)動，由于各自的速度不同，所以星系間的距離都在增大，以地球?yàn)閰⒖枷�，所有星系以不同的速度均在勻速遠(yuǎn)離。則由s=vt可得r=vT，所以，宇宙年齡：T===

若哈勃常數(shù)H=3×10^-2m/(s 光年)

則T==10¹⁰年

思考：1 宇宙爆炸過程動量守恒嗎？如果爆炸點(diǎn)位于宇宙的“中心”，地球相對于這個“中心”做什么運(yùn)動？其它星系相對于地球做什么運(yùn)動？

　 2 其它星系相對于地球的速度與相對于這個“中心”的速度相等嗎？

6、一物體在A、B兩點(diǎn)的正中間由靜止開始運(yùn)動(設(shè)不會超越A、B)，其加速度隨時間變化如圖所示。設(shè)向A的加速度為為正方向，若從出發(fā)開始計(jì)時，則物體的運(yùn)動情況是(　　　 )

A 先向A ，后向B，再向A，又向B，4秒末靜止在原處

B 先向A ，后向B，再向A，又向B，4秒末靜止在偏向A的某點(diǎn)

C 先向A ，后向B，再向A，又向B，4秒末靜止在偏向B的某點(diǎn)

D 一直向A運(yùn)動，4秒末靜止在偏向A的某點(diǎn)

解析：根據(jù)a-t圖象作出其v-t圖象，如右圖所示，由該圖可以看出物體的速度時大時小，但方向始終不變，一直向A運(yùn)動，又因v-t圖象與t軸所圍“面積”數(shù)值上等于物體在t時間內(nèi)的位移大小，所以4秒末物體距A點(diǎn)為2米

答案：D

5、在輕繩的兩端各栓一個小球，一人用手拿者上端的小球站在3層樓陽臺上，放手后讓小球自由下落，兩小球相繼落地的時間差為T，如果站在4層樓的陽臺上，同樣放手讓小球自由下落，則兩小球相繼落地時間差將　　 (　　　　 )

A 不變 　　　　　B 變大　 　　　　　C 變小　　 　　　　D 無法判斷

解析：兩小球都是自由落體運(yùn)動，可在一v-t圖象中作出速度隨時間的關(guān)系曲線，如圖所示，設(shè)人在3樓陽臺上釋放小球后，兩球落地時間差為△t₁，圖中陰影部分面積為△h，若人在4樓陽臺上釋放小球后，兩球落地時間差△t₂，要保證陰影部分面積也是△h；從圖中可以看出一定有△t₂〈△t₁

答案：C

4、汽車甲沿著平直的公路以速度v₀做勻速直線運(yùn)動，當(dāng)它路過某處的同時，該處有一輛汽車乙開始做初速度為零的勻加速運(yùn)動去追趕甲車，根據(jù)上述的已知條件(　　 )

A.　　 可求出乙車追上甲車時乙車的速度

B.　　 可求出乙車追上甲車時乙車所走的路程

C.　　 可求出乙車從開始起動到追上甲車時所用的時間

D.　　 不能求出上述三者中任何一個

分析：題中涉及到2個相關(guān)物體運(yùn)動問題，分析出2個物體各作什么運(yùn)動，并盡力找到兩者相關(guān)的物理?xiàng)l件是解決這類問題的關(guān)鍵，通�？梢詮奈灰脐P(guān)系、速度關(guān)系或者時間關(guān)系等方面去分析。

解析：根據(jù)題意，從汽車乙開始追趕汽車甲直到追上，兩者運(yùn)動距離相等，即s_甲=

=s_乙=s，經(jīng)歷時間t_甲=t_乙=t.

那么，根據(jù)勻速直線運(yùn)動公式對甲應(yīng)有：

根據(jù)勻加速直線運(yùn)動公式對乙有：，及

由前2式相除可得at=2v₀，代入后式得v_t=2v₀，這就說明根據(jù)已知條件可求出乙車追上甲車時乙車的速度應(yīng)為2v₀。因a不知，無法求出路程和時間，如果我們采取作v－t圖線的方法，則上述結(jié)論就比較容易通過圖線看出。圖中當(dāng)乙車追上甲車時，路程應(yīng)相等，即從圖中圖線上看面積s_甲和s_乙，顯然三角形高vt等于長方形高v₀的2倍，由于加速度a未知，乙圖斜率不定，a越小，t越大，s也越大，也就是追趕時間和路程就越大。

答案：A

3、汽車原來以速度v勻速行駛,剎車后加速度大小為a,做勻減速運(yùn)動,則t秒后其位移為(　　 )

A　 　　B　 　　　　C 　　D　 無法確定

解析:汽車初速度為v，以加速度a作勻減速運(yùn)動。速度減到零后停止運(yùn)動，設(shè)其運(yùn)動的時間t^，=。當(dāng)t≤t^，時，汽車的位移為s=；如果t＞t^，，汽車在t^，時已停止運(yùn)動，其位移只能用公式v²=2as計(jì)算，s=

答案：D

2、 一個物體在做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，已知它在第一個△t時間內(nèi)的位移為s，若 △t未知，則可求出　　　　　　　 (　 )

A．　 第一個△t時間內(nèi)的平均速度

B．　 第n個△t時間內(nèi)的位移

C．　 n△t時間的位移

D．　 物體的加速度　

解析：因=，而△t未知，所以不能求出，故A錯.因有，(2n-1)s，故B正確；又s∝t²　 所以⁼n²，所以s_n=n2s，故C正確；因a=，盡管△s=s_n-s_n-1可求，但△t未知，所以A求不出，D錯.

答案：B、C

1、 下列關(guān)于所描述的運(yùn)動中，可能的是　　　 (　　　　 )

A 速度變化很大，加速度很小

B 速度變化的方向?yàn)檎�，加速度方向�(yàn)樨?fù)

C 速度變化越來越快，加速度越來越小

D 速度越來越大，加速度越來越小

解析：由a=△v/△t知，即使△v很大，如果△t足夠長，a可以很小，故A正確。速度變化的方向即△v的方向，與a方向一定相同，故B錯。加速度是描述速度變化快慢的物理量，速度變化快，加速度一定大。故C錯。加速度的大小在數(shù)值上等于單位時間內(nèi)速度的改變量，與速度大小無關(guān)，故D正確。

答案：A、D

例題1.一物體做勻變速直線運(yùn)動，某時刻速度大小為4m/s，1s后速度的大小變?yōu)?0m/s，在這1s內(nèi)該物體的　　　　　　　　　　 (　　　 )

A.位移的大小可能小于4m

B.位移的大小可能大于10m

C.加速度的大小可能小于4m/s

D.加速度的大小可能大于10m/s

析：同向時

　　 反向時

式中負(fù)號表示方向跟規(guī)定正方向相反

答案：A、D

例題2：兩木塊自左向右運(yùn)動，現(xiàn)用高速攝影機(jī)在同一底片上多次曝光，記錄下木快每次曝光時的位置，如圖所示，連續(xù)兩次曝光的時間間隔是相等的，由圖可知　 (　　　 )

A　 在時刻t₂以及時刻t₅兩木塊速度相同

B　 在時刻t1兩木塊速度相同

C　 在時刻t₃和時刻t₄之間某瞬間兩木塊速度相同

D　 在時刻t₄和時刻t₅之間某瞬間兩木塊速度相同

解析：首先由圖看出：上邊那個物體相鄰相等時間內(nèi)的位移之差為恒量，可以判定其做勻變速直線運(yùn)動；下邊那個物體很明顯地是做勻速直線運(yùn)動。由于t₂及t₃時刻兩物體位置相同，說明這段時間內(nèi)它們的位移相等，因此其中間時刻的即時速度相等，這個中間時刻顯然在t₃、t₄之間

答案：C

例題3　 一跳水運(yùn)動員從離水面10m高的平臺上躍起，舉雙臂直立身體離開臺面，此時中心位于從手到腳全長的中點(diǎn)，躍起后重心升高0.45m達(dá)到最高點(diǎn)，落水時身體豎直，手先入水(在此過程中運(yùn)動員水平方向的運(yùn)動忽略不計(jì))從離開跳臺到手觸水面，他可用于完成空中動作的時間是多少？(g取10m/s²結(jié)果保留兩位數(shù)字)

解析：根據(jù)題意計(jì)算時，可以把運(yùn)動員的全部質(zhì)量集中在重心的一個質(zhì)點(diǎn)，且忽略其水平方向的運(yùn)動，因此運(yùn)動員做的是豎直上拋運(yùn)動，由可求出剛離開臺面時的速度，由題意知整個過程運(yùn)動員的位移為－10m(以向上為正方向)，由得：

－10=3t－5t²

解得：t≈1.7s

思考：把整個過程分為上升階段和下降階段來解，可以嗎？

例題4.如圖所示，有若干相同的小鋼球，從斜面上的某一位置每隔0.1s釋放一顆，在連續(xù)釋放若干顆鋼球后對斜面上正在滾動的若干小球攝下照片如圖，測得AB=15cm，BC=20cm，試求：

(1)　　　 拍照時B球的速度；

(2)　　　 A球上面還有幾顆正在滾動的鋼球

解析：拍攝得到的小球的照片中，A、B、C、D…各小球的位置，正是首先釋放的某球每隔0.1s所在的位置.這樣就把本題轉(zhuǎn)換成一個物體在斜面上做初速度為零的勻加速運(yùn)動的問題了。求拍攝時B球的速度就是求首先釋放的那個球運(yùn)動到B處的速度；求A球上面還有幾個正在滾動的小球變換為首先釋放的那個小球運(yùn)動到A處經(jīng)過了幾個時間間隔(0.1s)

(1)A、B、C、D四個小球的運(yùn)動時間相差△T=0.1s

V_B==m/s=1.75m/s

(2)由△s=a△T²得：

a=m/s²==5m/s²

例5：火車A以速度v₁勻速行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)正前方同一軌道上相距s處有另一火車B沿同方向以速度v₂(對地，且v₂〈v₁〉做勻速運(yùn)動，A車司機(jī)立即以加速度(絕對值)a緊急剎車，為使兩車不相撞，a應(yīng)滿足什么條件？

分析：后車剎車做勻減速運(yùn)動，當(dāng)后車運(yùn)動到與前車車尾即將相遇時，如后車車速已降到等于甚至小于前車車速，則兩車就不會相撞，故取s_后=s+s_前和v_后≤v_前求解

解法一：取取上述分析過程的臨界狀態(tài)，則有

v₁t－a₀t²＝s+v₂t

v₁－a₀t = v₂

a₀ =

所以當(dāng)a≥　 時，兩車便不會相撞。

法二：如果后車追上前車恰好發(fā)生相撞，則

v₁t－at² ＝ s +v₂t

上式整理后可寫成有關(guān)t的一元二次方程，即

at²+(v₂－v₁)t+s ＝ 0

取判別式△〈0，則t無實(shí)數(shù)解，即不存在發(fā)生兩車相撞時間t�！鳌�0，則有

(v₂－v₁)²≥4(a)s

得a≤

為避免兩車相撞，故a≥

法三：運(yùn)用v-t圖象進(jìn)行分析，設(shè)從某時刻起后車開始以絕對值為a的加速度開始剎車，取該時刻為t=0，則A、B兩車的v-t圖線如圖所示。圖中由v₁ 、v₂、C三點(diǎn)組成的三角形面積值即為A、B兩車位移之差(s_后－s_前)=s，tanθ即為后車A減速的加速度絕對值a₀。因此有

(v₁－v₂)=s

所以 tanθ=a₀=

若兩車不相撞需a≥a₀=