17.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+)+sinx.
求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期.
(1) 設(shè)A,B,C為ABC的三個(gè)內(nèi)角,若cosB=,f()=-,且C為銳角,求sinA.
解: (1)f(x)=cos(2x+)+sinx.=
所以函數(shù)f(x)的最大值為,最小正周期.
(2)f()==-,所以,因?yàn)镃為銳角,所以,所以,所以sinA =cosB=.
[命題立意]:本題主要考查三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角形中的三角關(guān)系.
(18)(本小題滿分12分)
如圖,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD為等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。
(1) 證明:直線EE//平面FCC;
(2) 求二面角B-FC-C的余弦值。
解法一:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中,取A1B1的中點(diǎn)F1,
連接A1D,C1F1,CF1,因?yàn)锳B=4, CD=2,且AB//CD,
所以CD\s\up8(//(//)//A1F1,A1F1CD為平行四邊形,所以CF1//A1D,
又因?yàn)镋、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn),所以EE1//A1D,
所以CF1//EE1,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/258308/1010jiajiao.files/image268.gif">平面FCC,平面FCC,
所以直線EE//平面FCC.
(2)因?yàn)锳B=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點(diǎn),所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點(diǎn)O,則OB⊥CF,又因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以O(shè)B⊥平面CC1F,過(guò)O在平面CC1F內(nèi)作OP⊥C1F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FC-C的一個(gè)平面角, 在△BCF為正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴,
在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值為.
解法二:(1)因?yàn)锳B=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點(diǎn),
所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形, 因?yàn)锳BCD為
等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中點(diǎn)M,
連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
,則D(0,0,0),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),
C1(0,2,2),E(,,0),E1(,-1,1),所以,,設(shè)平面CC1F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE//平面FCC.
(2),設(shè)平面BFC1的法向量為,則所以,取,則,
,,
所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為.
[命題立意]:本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關(guān)系的判定和二面角的計(jì)算.考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力,以及應(yīng)用向量知識(shí)解答問(wèn)題的能力.
(19)(本小題滿分12分)
在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中,規(guī)定每人最多投3次;在A處每投進(jìn)一球得3分,在B處每投進(jìn)一球得2分;如果前兩次得分之和超過(guò)3分即停止投籃,否則投第三次,某同學(xué)在A處的命中率q為0.25,在B處的命中率為q,該同學(xué)選擇先在A處投一球,以后都在B處投,用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分,其分布列為
|
0
|
2
|
3 |
4 |
5 |
p
|
0.03
|
P1
|
P2 |
P3
|
P4
|
(1) 求q的值;
(2) 求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E;
(3) 試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分與選擇上述方式投籃得分超過(guò)3分的概率的大小。
解:(1)設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨(dú)立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.
根據(jù)分布列知: =0時(shí)=0.03,所以,q=0.2.
(2)當(dāng)=2時(shí), P1=
=0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24
當(dāng)=3時(shí), P2 ==0.01,
當(dāng)=4時(shí), P3==0.48,
當(dāng)=5時(shí), P4=
=0.24
所以隨機(jī)變量的分布列為
|
0
|
2
|
3 |
4 |
5 |
p
|
0.03
|
0.24
|
0.01 |
0.48
|
0.24
|
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
(3)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率為
;
該同學(xué)選擇(1)中方式投籃得分超過(guò)3分的概率為0.48+0.24=0.72.
由此看來(lái)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率大.
[命題立意]:本題主要考查了互斥事件的概率,相互獨(dú)立事件的概率和數(shù)學(xué)期望,以及運(yùn)用概率知識(shí)解決問(wèn)題的能力.
(20)(本小題滿分12分)
等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為, 已知對(duì)任意的 ,點(diǎn),均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.
(1)求r的值;
(11)當(dāng)b=2時(shí),記
證明:對(duì)任意的 ,不等式成立
解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn),均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為,
(2)當(dāng)b=2時(shí),,
則,所以
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.
① 當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/258308/1010jiajiao.files/image410.gif">,所以不等式成立.
② 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊=
所以當(dāng)時(shí),不等式也成立.
由①、②可得不等式恒成立.
[命題立意]:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.
(21)(本小題滿分12分)
兩縣城A和B相距20km,現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠,其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān),對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和,記C點(diǎn)到城A的距離為x km,建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明:垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比,比例系數(shù)為4;對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比,比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí),對(duì)城A和城B的總影響度為0.065.
(1)將y表示成x的函數(shù);
(11)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性,并判斷弧上是否存在一點(diǎn),使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最?若存在,求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在,說(shuō)明理由。
解:(1)如圖,由題意知AC⊥BC,,
其中當(dāng)時(shí),y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函數(shù)為
設(shè),則,,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取”=”.
下面證明函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù), 在(160,400)上為增函數(shù).
設(shè)0<m1<m2<160,則
,
因?yàn)?<m1<m2<160,所以4>4×240×240
9 m1m2<9×160×160所以,
所以即函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù).
同理,函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù),設(shè)160<m1<m2<400,則
因?yàn)?600<m1<m2<400,所以4<4×240×240, 9 m1m2>9×160×160
所以,
所以即函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù).
所以當(dāng)m=160即時(shí)取”=”,函數(shù)y有最小值,
所以弧上存在一點(diǎn),當(dāng)時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最小.
[命題立意]:本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的 能力和運(yùn)用換元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問(wèn)題.
(22)(本小題滿分14分)
設(shè)橢圓E: (a,b>0)過(guò)M(2,) ,N(,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),
(I)求橢圓E的方程;
(II)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且?若存在,寫(xiě)出該圓的方程,并求|AB |的取值范圍,若不存在說(shuō)明理由。
解:(1)因?yàn)闄E圓E: (a,b>0)過(guò)M(2,) ,N(,1)兩點(diǎn),
所以解得所以橢圓E的方程為
(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,
則△=,即
,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.
[命題立意]:本題屬于探究是否存在的問(wèn)題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問(wèn)題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.
16.已知定義在R上的奇函數(shù),滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,則
[解析]:因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù),滿足,所以,所以, 由為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱且,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/258308/1010jiajiao.files/image214.gif">在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù).如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,不妨設(shè)由對(duì)稱性知所以
答案:-8
[命題立意]:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,
對(duì)稱性,周期性,以及由函數(shù)圖象解答方程問(wèn)題,
運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問(wèn)題.
15.執(zhí)行右邊的程序框圖,輸入的T= .
[解析]:按照程序框圖依次執(zhí)行為S=5,n=2,T=2;
S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;
S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,輸出T=30
答案:30
[命題立意]:本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,一般都可以
反復(fù)的進(jìn)行運(yùn)算直到滿足條件結(jié)束,本題中涉及到三個(gè)變量,
注意每個(gè)變量的運(yùn)行結(jié)果和執(zhí)行情況.
14.若函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
[解析]: 設(shè)函數(shù)且和函數(shù),則函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn), 就是函數(shù)且與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn),由圖象可知當(dāng)時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn),不符合,當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),而直線所過(guò)的點(diǎn)一定在點(diǎn)(0,1)的上方,所以一定有兩個(gè)交點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是
答案:
[命題立意]:本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系,隱含著對(duì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查,根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫(huà)出函數(shù)的圖象解答.
13.不等式的解集為 .
[解析]:原不等式等價(jià)于不等式組①或②
或③不等式組①無(wú)解,由②得,由③得,綜上得,所以原不等式的解集為.
答案:
[命題立意]:本題考查了含有多個(gè)絕對(duì)值號(hào)的不等式的解法,需要根據(jù)絕對(duì)值的定義分段去掉絕對(duì)值號(hào),最后把各種情況綜合得出答案.本題涉及到分類討論的數(shù)學(xué)思想.
12. 設(shè)x,y滿足約束條件 ,
若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的是最大值為12,
則的最小值為( ).
A. B. C. D. 4
[解析]:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線ax+by= z(a>0,b>0)
過(guò)直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)(4,6)時(shí),
目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,
即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A.
答案:A
[命題立意]:本題綜合地考查了線性規(guī)劃問(wèn)題和由基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題.要求能準(zhǔn)確地畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對(duì)于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答.
第卷
11.在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,的值介于0到之間的概率為( ).
A. B. C. D.
[解析]:在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,即時(shí),, ∴
區(qū)間長(zhǎng)度為1, 而的值介于0到之間的區(qū)間長(zhǎng)度為,所以概率為.故選C
答案:C
[命題立意]:本題考查了三角函數(shù)的值域和幾何概型問(wèn)題,由自變量x的取值范圍,得到函數(shù)值的范圍,再由長(zhǎng)度型幾何概型求得.
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