60. l₁、l₂是兩條異面直線，直線m₁、m₂與l₁、l₂都相交，則m₁、m₂的位置關(guān)系是(　　　 )

A.異面或平行　　　　　　　　　　　　　 B.相交

C.異面　　　　　　　 　　　　　　D.相交或異面

解析：D

59. 垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是(　　　 )

A.平行　　　　　　　　　　　　　 B.相交

C.異面　 　　　　　　　　　　　　D.以上都有可能

解析：D

58. 已知異面直線與所成的角為，P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與，所成的角均是的直線有且只有(　 )

A、1條　　 B、2條　　 C、3條　　 D、4條

解析： 過(guò)空間一點(diǎn)P作∥，∥，則由異面直線所成角的定義知：與的交角為，過(guò)P與，成等角的直線與，亦成等角，設(shè)，確定平面，，交角的平分線為，則過(guò)且與垂直的平面(設(shè)為)內(nèi)的任一直線與，成等角(證明從略)，由上述結(jié)論知：與，所成角大于或等于與，所成角，這樣在內(nèi)的兩側(cè)與，成角的直線各有一條，共兩條。在，相交的另一個(gè)角內(nèi)，同樣可以作過(guò)角平分線且與垂直的平面，由上述結(jié)論知，內(nèi)任一直線與，所成角大于或等于，所以內(nèi)沒(méi)有符合要求的直線，因此過(guò)P與，成的直線有且只有2條，故選(B)

57. 三棱柱，平面⊥平面OAB，

，且，求異面直線與所成角的大小，(略去了該題的1問(wèn))

解析： 在平面內(nèi)作于C ，連，

由平面平面AOB， 知，

AO⊥平面，　　 ∴ ，　

又 ，　 ∴ BC⊥平面，

∴ 為在平面內(nèi)的射影。

設(shè)與所成角為，與所成角為，

則，

由題意易求得 　，

∴ ，

在矩形中易求得與所成角的余弦值：，

∴ ，

即與所成角為 。

56.. 在正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，

求異面直線AE與CF所成角的大小。

解析： 連接BF、EF，易證AD⊥平面BFC，

∴ EF為AE在平面BFC內(nèi)的射影，

設(shè)AE與CF所成角為，

∴ ，

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則 ，

顯然 EF⊥BC，　 ∴ 　，

∴ ， ，

∴ ，　 即AE∴與CF所成角為 。

55. 已知平行六面體的底面ABCD是菱形，且，證明 。

(略去了該題的2，3問(wèn))

解析： 設(shè)在平面ABCD內(nèi)射影為H，則CH為在平面ABCD內(nèi)的射影，

∴ ，

∴ ，

由題意 ，　 ∴。

又 ∵

∴，　 從而CH為的平分線，

又四邊形ABCD是菱形，　 ∴

∴與BD所成角為，　 即

54. 已知AO是平面的斜線，A是斜足，OB垂直，B為垂足，則

直線AB是斜線在平面內(nèi)的射影，設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線，

解析：設(shè)AO與AB所成角為，AB與AC所成角為，AO與AC所成角為，則有。

在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=

∠ACB=，，求異面直線SC與AB所成角的大小。(略去了該題的1,2問(wèn))

由SA⊥平面ABC知，AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影，

設(shè)異面直線SC與AB所成角為，

則 ，

由 得

∴ 　， ，

∴ ，　 即異面直線SC與AB所成角為 。

53. 在長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC₁與BD所成的角的余弦．

解一：連AC，設(shè)AC∩BD=0，則O為AC中點(diǎn)，取C₁C的中點(diǎn)F，連OF，則OF∥AC1且OF=AC1，所以∠FOB即為AC1與DB所成的角。在△FOB中，OB=，OF=，BE=，由余弦定理得

cos∠OB==

解二：取AC₁中點(diǎn)O₁，B₁B中點(diǎn)G．在△C₁O₁G中，∠C₁O₁G即AC1與DB所成的角。

解三：．延長(zhǎng)CD到E，使ED=DC．則ABDE為平行四邊形．AE∥BD，所以∠EAC₁即為AC₁與BD所成的角．連EC₁，在△AEC1

中，AE=，AC1=，C1E=由余弦定理，得

cos∠EAC₁==＜0

所以∠EAC₁為鈍角．

根據(jù)異面直線所成角的定義，AC₁與BD所成的角的余弦為

52. .如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，已知AB=4，CD=20，EF=7， 。求異面直線AB與CD所成的角。

解析：在BD上取一點(diǎn)G，使得，連結(jié)EG、FG

　在ΔBCD中，，故EG//CD，并且，

　所以，EG=5；類(lèi)似地，可證FG//AB，且，

　故FG=3，在ΔEFG中，利用余弦定理可得

　cos∠FGE=，故∠FGE=120°。

　另一方面，由前所得EG//CD，F(xiàn)G//AB，所以EG與FG所成的銳角等于AB與CD所成的角，于是AB與CD所成的角等于60°。

2、作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補(bǔ)角，在直觀圖中無(wú)法判定，只有通過(guò)解三角形后，根據(jù)這個(gè)角的余弦的正、負(fù)值來(lái)判定這個(gè)角是銳角(也就是異面直線所成的角)或鈍角(異面直線所成的角的鄰補(bǔ)角)。最后作答時(shí)，這個(gè)角的余弦值必須為正。