432.　 已知球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離都是球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，則球表面積是(　　 )

A.π　　　　 B.π　　　　　 C.4π　　　　　 D.π

解析： 如圖，過(guò)ABC三點(diǎn)的截面圓的圓心是O′，球心是O，連結(jié)AO′、OO′，則OO′⊥　　　 AO′.ΔABC中，AB＝BC＝CA＝2，故ΔABC為正三角形.

∴AO′＝×2＝

設(shè)球半徑為R，則OA＝R，OO′＝

在RtΔOAO′中，OA²＝O′O²+O′A²，即R²＝+()²

∴R＝

∴球面面積為4πR²＝π

∴應(yīng)選A.

說(shuō)明 　因?yàn)镽＝OA＞O′A＞AB＝1，所以球面積S＝4πR²＞4π.從而選A.

431.　 球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為4π，那么這個(gè)球的半徑為(　　 )

A.4 　　　　B.2　　　　 C.2　　　　　 D.

解析： 設(shè)球半徑為R，小圓半徑為r，則2πr＝4π,∴r＝2.如圖，設(shè)三點(diǎn)A、B、C，O為球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝，又∵OA＝OB

∴ΔAOB是等邊三角形

同理，ΔBOC、ΔCOA都是等邊三角形，得ΔABC為等邊三角形.

邊長(zhǎng)等于球半徑R，r為ΔABC的外接圓半徑.

r＝AB＝R

R＝r＝2

∴應(yīng)選B.

2.在球心的同一側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積各為49πcm²和400πcm².求球的表面積.

解：　 如圖，設(shè)球的半徑為R，

∵πO₂B²＝49π，　 ∴O₂B＝7

同理　 O₁A＝20

設(shè)OO₁＝xcm，則OO₂＝(x+9)cm.

在RtΔOO₁A中，可得R²＝x²+20²

在RtΔOO₂B中，可得R²＝7²+(x+9)²

∴x²+20²＝7²+(x+9)²

解方程得　 x＝15cm

R²＝x²+20²＝25²

∴S_球＝4π·OA²＝2500π(cm²)

430.求證：球的任意兩個(gè)大圓互相平分.

證明：因?yàn)槿我鈨蓚�(gè)大圓都過(guò)球心O，所以它們必交于過(guò)球心的直徑，這條直徑也是兩個(gè)大圓的公共直徑，所以任意兩個(gè)大圓互相平分.

429.　 求棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑.

解析：如圖，作AH⊥底面BCD于H，則AH＝a，設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，O點(diǎn)與A、B、C、D相連，得四個(gè)錐體，設(shè)底面為S，則每個(gè)側(cè)面積為S，有4··Sr＝S·AH，∴r＝AH＝a,設(shè)外接球心為O，半徑R，過(guò)A點(diǎn)作球的半徑交底面ΔBCD于H，則H為ΔBCD的外心，求得BH＝a,AH＝a,由相交弦定理得a×(2R-a)＝(a)².

解得R＝a.

428.　 如圖，過(guò)半徑為R的球面上一點(diǎn)P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC，(1)求證：PA²+PB²+PC²為定值；(2)求三棱錐P-ABC的體積的最大值.

解析：先選其中兩條弦PA、PB，設(shè)其確定的平面截球得⊙O₁，AB是⊙O₁的直徑，連PO₁并延長(zhǎng)交⊙O₁于D，PADB是矩形，PD²＝AB²＝PA²+PB²，然后只要證得PC和PD確定是大圓就可以了.

解：　 (1)設(shè)過(guò)PA、PB的平面截球得⊙O₁，∵PA⊥PB，

∴AB是⊙O₁的直徑，連PO₁并延長(zhǎng)交⊙O₁于D，則PADB是矩形，PD²＝PA²+PB².

設(shè)O為球心，則OO₁⊥平面⊙O₁，

∵PC⊥⊙O₁平面，

∴OO₁∥PC，因此過(guò)PC、PD的平面經(jīng)過(guò)球心O，截球得大圓，又PC⊥PD.

∴CD是球的直徑.

故　 PA²+PB²+PC²＝PD²+PC²＝CD²＝4R²定值.

(2)設(shè)PA、PB、PC的長(zhǎng)分別為x、y、z，則三棱錐P-ABC的體積V＝xyz，

V²＝x²y²z²≤()³＝·＝R⁶.

∴V≤R³.

即　 V_最大＝R³.

評(píng)析：定值問(wèn)題可用特殊情況先“探求”，如本題(1)若先考慮PAB是大圓，探求得定值4R²可為(1)的證明指明方向.

球面上任一點(diǎn)對(duì)球的直徑所張的角等于90°，這應(yīng)記作很重要的性質(zhì).

427.　 已知圓錐的母線長(zhǎng)為l，母線對(duì)圓錐底面的傾角為θ，在這個(gè)圓錐內(nèi)有一內(nèi)切球，球內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)接的正方體，求這個(gè)內(nèi)接正方體的體積.

解析：設(shè)球半徑為R，以內(nèi)接正方體對(duì)角面為軸截面，如圖.連接OA，∠OAD＝，R＝OD＝AD·tan,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan,又設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，則3x²＝EG²＝4R²,x＝R.∴V_正方體＝(lcosθtan)³.

426. 地球半徑為R，A、B兩地都在北緯45°線上，且A、B的球面距離為，求A、B兩地經(jīng)度的差.

解析：如圖，O為球心，O₁為北緯45°小圓的圓心，知A、B的球面距離，就可求得∠AOB的弧度數(shù)，進(jìn)而求得線段AB的長(zhǎng)，在ΔAO₁B中，∠AO₁B的大小就是A、B兩地的經(jīng)度差.

解：　 設(shè)O₁是北緯45°圓的中心，

∵A、B都在此圓上，

∴O₁A＝O₁B＝R.

∵A、B的球面距離為，

∴∠AOB＝＝＝,ΔAOB為等邊三角形.

AB＝R，在ΔAO₁B中，

∵O₁A²+O₁B²＝R²+R²＝R²＝AB²，

∴∠AO₁B＝90°.

∴A、B兩地的經(jīng)度差是90°.

評(píng)析：注意搞清緯度和經(jīng)度的問(wèn)題，球面距離三步驟的運(yùn)用是非常重要的問(wèn)題.

425. 求證：球的外切正四面體的高是球的直徑的2倍.

證明： 　設(shè)球的半徑為R，正四面體的高為h，側(cè)面積為S，則有V_A-BCD＝V_O-ABC+V_O-ABD+V_O-BCD，如圖，即Sh＝4×SR,∴h＝4R.

424.　 正三棱錐的底面邊長(zhǎng)是2cm，側(cè)棱與底面成60°角，求它的外接球的表面積.

解析：如圖，PD是三棱錐的高，則D是ΔABC的中心，延長(zhǎng)PD交球于E，則PE就是外接球的直徑，AD＝AB＝，∠PAD＝60°，∴PD＝AD·tan60°＝2,PA＝，而AP⊥AE，∴PA²＝PD·PE＝＝，R＝，∴S_球＝π(cm)².