Question

14．如圖，紙上畫了四個大小一樣的圓，圓心分別是A、B、C、D，直線m通過A、B，直線n通過C、D，用S表示一個圓的面積，如果四個圓在紙上蓋住的總面積是5（S-1），直線m、n之間被圓蓋住的面積是8，陰影部分的面積是S₁、S₂、S₃滿足關系式S₃=S₂=S₁，求S．

Answer 1

分析 觀察圖形可以得到四個圓之間的位置關系，根據重疊部分的面積可以列出一個方程，然后與題目中S₁，S₂，S₃的關系聯立方程組，解方程組得到S的值．

解答 解：由題設可得：$\left\{\begin{array}{l}{5（S-1）=4S-{S}_{1}-{S}_{2}-{S}_{3}}\\{{S}_{1}={S}_{2}={S}_{3}}\end{array}\right.$

所以S₁=$\frac{5-S}{3}$  ①
又因為2S-$\frac{1}{2}$S₁-S₂-$\frac{1}{2}$S₃=8，
即：2S-2S₁=8  ②
把①代入②消去S₁得：
2S-2×$\frac{5-S}{3}$=8
  6S-10+2S=24
        8S=34
         S=$\frac{17}{4}$．

點評 本題考查的是圓與圓的位置關系，根據題意結合圖形列方程組，用代入消元法解方程組求出S的值．