Question

如圖1，在周長(zhǎng)為140米的圓周上，線段AC、BD為兩條互相垂直的直徑，以AO、BO、CO、DO為直徑作四個(gè)小半圓弧．甲、乙、丙分別從A、B、D同時(shí)出發(fā)，甲沿圖2中路線，開始時(shí)按逆時(shí)針方向行走（即：A→O→C→D→A），速度為3米/秒；乙沿圖3中路線，開始時(shí)按順時(shí)針方向行走（即：B→O→D→C→B），速度為2米/秒；甲乙每次相遇后均立即掉頭沿原路返回，且速度變?yōu)樵瓉砀髯运俣鹊?倍．丙一直沿大圓周按順時(shí)針方向行走，速度為2米/秒，那么經(jīng)過

 

秒三人第一次相遇．

Answer 1

考點(diǎn)：多次相遇問題,有關(guān)圓的應(yīng)用題

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：
題目中小半圓的直徑等于大圓的半徑，可知四個(gè)小半圓弧的長(zhǎng)度均為大圓周長(zhǎng)的

1

4

，通過觀察三人的行走路線可知，三人第一次相遇地點(diǎn)應(yīng)在劣弧CD上，由于甲乙兩人運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜，回此要對(duì)這兩人的相遇地點(diǎn)進(jìn)行分析．
甲行走路線如圖4所示，乙行走路線如圖5所示（實(shí)線箭頭表示出發(fā)到第一次相遇，虛線箭頭表示從第一次相遇到二次相遇）出發(fā)時(shí)，V甲：V乙=3：2，從而第一次相遇時(shí)，兩人所走路程比S甲：S乙=3：2，且從圖形可和兩人路程和是1

1

4

個(gè)在圓，從而乙路程為1

1

4

×

2

5

=

1

2

個(gè)大圓，即兩人第一次相遇地點(diǎn)在D點(diǎn)．之后兩人掉頭原路返回，由于兩人速度都變?yōu)樵瓉淼?倍，從而2V甲：2V乙=V甲：V乙=3：2，即兩人的速度比不變，因此從第一相遇到第二次相遇兩人的路程比仍為3：2，（兩人方向一直相反，所以兩人一直是迎面相遇），從第一次相遇到第二次相遇兩人路程和為兩個(gè)大圓的周長(zhǎng)，其中乙走了2×

2

5

=

4

5

個(gè)大圓，可知兩人第二次相遇點(diǎn)在大圓周長(zhǎng)上D點(diǎn)順時(shí)針1-

4

5

=

1

5

個(gè)大圓周長(zhǎng)處，記為E點(diǎn)．從第二次到第三次相遇兩人速度比仍為3：2，且兩次相遇間兩人路程和仍為兩個(gè)大圓的周長(zhǎng)，可知第三次相遇地點(diǎn)仍為D點(diǎn)，…，依此類推，可知甲乙二人奇數(shù)次相遇地點(diǎn)均在D點(diǎn)，偶數(shù)次相遇地點(diǎn)均在E點(diǎn)，且從第二次相遇開始，相鄰兩次相遇所需時(shí)間依次減半．據(jù)此計(jì)算即可．

解答： 解：如圖4，圖5：

題目中小半圓的直徑等于大圓的半徑，可知四個(gè)小半圓弧的長(zhǎng)度均為大圓周長(zhǎng)的

1

4

，通過觀察三人的行走路線可知，三人第一次相遇地點(diǎn)應(yīng)在劣弧CD上，甲行走路線如圖4所示，乙行走路線如圖5所示（實(shí)線箭頭表示出發(fā)到第一次相遇，虛線箭頭表示從第一次相遇到二次相遇）出發(fā)時(shí)，V甲：V乙=3：2，從而第一次相遇時(shí)，兩人所走路程比S甲：S乙=3：2，且從圖形可和兩人路程和是1

1

4

個(gè)在圓，從而乙路程為1

1

4

×

2

5

=

1

2

個(gè)大圓，即兩人第一次相遇地點(diǎn)在D點(diǎn)．之后兩人掉頭原路返回，由于兩人速度都變?yōu)樵瓉淼?倍，從而2V甲：2V乙=V甲：V乙=3：2，即兩人的速度比不變，因此從第一相遇到第二次相遇兩人的路程比仍為3：2，（兩人方向一直相反，所以兩人一直是迎面相遇），從第一次相遇到第二次相遇兩人路程和為兩個(gè)大圓的周長(zhǎng)，其中乙走了2×

2

5

=

4

5

個(gè)大圓，可知兩人第二次相遇點(diǎn)在大圓周長(zhǎng)上D點(diǎn)順時(shí)針1-

4

5

=

1

5

個(gè)大圓周長(zhǎng)處，記為E點(diǎn)．從第二次到第三次相遇兩人速度比仍為3：2，且兩次相遇間兩人路程和仍為兩個(gè)大圓的周長(zhǎng)，可知第三次相遇地點(diǎn)仍為D點(diǎn)，…，依此類推，可知甲乙二人奇數(shù)次相遇地點(diǎn)均在D點(diǎn)，偶數(shù)次相遇地點(diǎn)均在E點(diǎn)，且從第二次相遇開始，相鄰兩次相遇所需時(shí)間依次減半．據(jù)此計(jì)算即可．
由大圓周長(zhǎng)為140米，可知甲、乙二人第一次相遇在D點(diǎn)，相是時(shí)間是：140×1

1

4

÷（3+2）=35秒，此時(shí)兩人走了2×35=70米，在B點(diǎn)，又經(jīng)過140×2÷[（3+2）×2=28秒，甲、乙第二次相遇，相遇地點(diǎn)為E，此時(shí)丙又走了2×28=56米，還差14米到D，又經(jīng)過28÷2秒，甲乙第三次相遇，相遇地點(diǎn)為D，此時(shí)丙又走了14×2=28米，在D點(diǎn)順時(shí)針14米處，又經(jīng)過14÷2=7秒，甲乙第四次相遇，相遇地點(diǎn)為E，此時(shí)丙又走了7×2=14米，即E點(diǎn)，此時(shí)即為三人第一次相遇，共用時(shí)間35+28+14++7=84秒．
故答案為：84．

點(diǎn)評(píng)：本題為難度較大的相遇問題，通過畫圖分析，找出他們相遇次數(shù)與相遇時(shí)間及相遇地點(diǎn)的規(guī)律是完成本題的關(guān)鍵．