Question

20．對(duì)于橢圓C，$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0），c為橢圓的半焦距，e為離心率，過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（非頂點(diǎn)），點(diǎn)D在橢圓上，AD⊥AB，直線BD與x軸，y軸分別交于M，N．
（1）當(dāng)e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，證明：直線AM⊥x軸；
（2）求△OMN的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由A和B在橢圓上，利用點(diǎn)差法求得$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，根據(jù)直線的斜率公式可得k_AD•k_BD=$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，由AD⊥AB，可得k_BD=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$k_AB，分別求得直線BM和OA的斜率，求得M坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式求得x₁=x₀，可證AM⊥x軸；
（2）由（1）求得直線BD的方程，根據(jù)三角形的面積公式，利用基本不等式的關(guān)系，即可求得△OMN的面積的最大值．

解答 證明：（1）設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），
∵A，D在橢圓上，
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1$
兩式相減得$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∴k_AD•k_BD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，…（3分）
∵AD⊥AB，
∴k_AD•k_BD=-1，
∴k_BD=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$k_AB．
設(shè)M（x₀，0），則k_BD=k_BM=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，k_AB=k_OA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
易知，y₁≠0，
∴x₀=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{^{2}}$x₁=$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$x₁，
由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$得，b=c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴x₁=x₀，即AM⊥x軸       …（6分）
（2）∵M(jìn)（$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$x₁，0），k_BD=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$k_AB=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
∴直線BD的方程是y=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$（x-$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$x₁），
令x=0得，y_N=-$\frac{{c}^{2}{y}_{1}}{{a}^{2}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|x₀||y_N|=$\frac{1}{2}$|$\frac{{c}^{2}{y}_{1}}{{a}^{2}}$||$\frac{{c}^{2}{x}_{1}}{^{2}}$|=$\frac{{c}^{4}}{2{a}^{2}^{2}}$|x₁y₁|…（9分）
由$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1$得，1=$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$≥2丨$\frac{{x}_{1}{y}_{1}}{ab}$丨，|x₁y₁|≤$\frac{ab}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a|y₁|=b|x₁|時(shí)取等號(hào)，
∴S≤$\frac{{c}^{4}}{4ab}$，
∴△OMN的面積的最大值是$\frac{{c}^{4}}{4ab}$．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的斜率公式及方程，考查點(diǎn)差法的應(yīng)用，考查三角形的面積公式及基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．