Question

有一串?dāng)?shù)：

1

1

，

1

2

，

2

2

，

1

3

，

2

3

，

3

3

，

1

4

，…．它的前1996個數(shù)的和是多少？

Answer 1

分析：此題屬典型的高斯求和問題，先找出這一串?dāng)?shù)字的變化規(guī)律，再利用高斯求和的知識求得答案．

解答：解：以1為分母的數(shù)有1個，相加和S1=1，
以2為分母的數(shù)有2個，相加和S2=

1

2

+

2

2

=

3

2

，
以3為分母的數(shù)有3個，相加和S3=

1

3

+

2

3

+

3

3

=2，…
以N為分母的數(shù)有N個，相加和SN=

1

N

+

2

N

+…

N

N

=

N(N+1)

2N

=

N+1

2

，
求前1996個數(shù)的和，先確定第1996個數(shù)分母是什么，即求滿足 1+2+3+4…+N=

N(N+1)

2

≥1996的最小整數(shù)N，易得N=63，62×

63

2

=1953，
分母為63的數(shù)有1996-1953=43個，即

1

63

、

2

63

、

3

63

…

43

63

，
則前1996個數(shù)的和是多少，S=S1+S2+…S62+

1

63

+

2

63

+…

43

63

，
=（62+1+2+3+…62）÷2+（1+2+3…+43）÷63，=1022.52；答：它的前1996個數(shù)的和是1022.52．

點(diǎn)評：此題關(guān)鍵是總結(jié)出SN=

N+1

2

，據(jù)此即可求得結(jié)果．