Question

將從1到30的自然數(shù)分成兩組，使得第一組中所有數(shù)的乘積A能被第二組中所有數(shù)的乘積B整除．則

A

B

的最小值是多少？

Answer 1

考點：數(shù)字分組,整除性質

專題：整除性問題

分析：首先把大數(shù)分解成多個小數(shù)的乘積，1-30內就有了很多相同的小的整數(shù)，要求兩組數(shù)的商的最小值，說明兩組數(shù)的乘積很接近，把相同的小數(shù)均分到兩組里面，剩下的單個小數(shù)放到其中一個小組中，求出

A

B

的最小值即可．

解答： 解：1到30的自然數(shù)中質數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，
合數(shù)：4=2×2，6=2×3，8=2×2×2，9=3×3，10=2×5，12=2×2×3，14=2×7，15=3×5，16=2×2×2×2，18=2×3×3，
20=2×2×5，21=3×7，22=2×11，24=2×2×2×3，25=5×5，26=2×13，27=3×3×3，28=2×2×7，30=2×3×5，
把所有的因數(shù)整理一下，一共是：26個2，14個3，7個5，4個7，2個11，2個13，1個17，1個19，1個23，1個29，
從1到30的自然數(shù)分成兩組：A=5×8×17×18×19×20×21×22×23×24×25×26×27×28×29，B=1×2×3×4×6×7×9×10×11×12×13×14×15×16×30，
則

A

B

=（5×8×17×18×19×20×21×22×23×24×25×26×27×28×29）÷（1×2×3×4×6×7×9×10×11×12×13×14×15×16×30）=1077205．
答：

A

B

的最小值是1077205．

點評：解答此題的關鍵是要明確：要求兩組數(shù)的商的最小值，說明兩組數(shù)的乘積很接近，把相同的小數(shù)均分到兩組里面，然后把剩下的那個放到其中一個組中即可．