Question

【題目】將自然數(shù)從1開(kāi)始，順次排成如圖所示的螺旋形，其中2，3，5，7，…處為拐點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：

（1）第30個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是多少？

（2）前30個(gè)拐點(diǎn)處的各數(shù)之和是多少？

Answer 1

【答案】（1）241．（2）2630．

【解析】

試題分析：第1個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是1+1=2，第3個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是1+1+3=5，第5個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是1+1+3+5=10，…，可得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第n個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是：1+（1+3+5+…+n）；第2個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是1+2×1=3，第4個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是1+2×（1+2）=7，…，可得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第n個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是：1+2×（1+2+3+…+）；

（1）第30個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是：1+2×（1+2+3+…+15），據(jù)此解答即可；

（2）分別求出第1、2個(gè)，第3、4個(gè)，…、第29、30個(gè)的拐點(diǎn)處的個(gè)數(shù)之和；然后相加，求出前30個(gè)拐點(diǎn)處的各數(shù)之和是多少即可．

解：根據(jù)分析，可得

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第n個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是：1+（1+3+5+…+n）；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第n個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是：1+2×（1+2+3+…+）；

（1）第30個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是：

1+2×（1+2+3+…+15）

=1+2×120

=241；

答：第30個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是241．

（2）根據(jù)n為奇數(shù)、偶數(shù)時(shí)，第n個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)的表達(dá)式，可得

第1個(gè)、第2個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)的和是：1+1+（1+2）=5，

第3、4個(gè)拐點(diǎn)處的各數(shù)之和是：1+1+（1+2+3+4）=12，

第5、6個(gè)拐點(diǎn)處的各數(shù)之和是：1+1+（1+2+3+4+5+6）=23，

第7、8個(gè)拐點(diǎn)處的各數(shù)之和是：1+1+（1+2+3+4+5+6+7+8）=38，

…，

第29、30個(gè)拐點(diǎn)處的各數(shù)之和是：1+1+（1+2+3+4+…+29+30）=467，

因?yàn)?2﹣5=7，23﹣12=11=7+4，38﹣23=15=11+4，…，

所以每個(gè)和與它前面的和的差分別是7、11、15、…，

它是一個(gè)首項(xiàng)是7，公差是4的等差數(shù)列，

因此前30個(gè)拐點(diǎn)處的各數(shù)之和是：

5+12+23+38+57+80+107+138+173+212+255+302+353+408+467=2630．

答：前30個(gè)拐點(diǎn)處的各數(shù)之和是2630．