Question

小明訓(xùn)練上樓梯賽跑，他每步可上2階或3階（不上1階），那么小明上12階樓梯的不同上法有

12

種．

Answer 1

分析：如果設(shè)小明上n階樓梯有a_n種上法，n是正整數(shù)．根據(jù)已知條件，他每步可上2階或3階樓梯（不上1階），易知a₁=0，a₂=1，a₃=1．考察a_n：把上n階樓梯的方法分成兩類，第一類是最后一步邁大步上3階樓梯的上法，第二類是最后一步邁小步上2階樓梯的上法，由加法原理知a_n等于兩類上樓梯方法數(shù)之和．第一類上法應(yīng)先到達(dá)第（n-3）階，再一步“登頂”，有a_n-3種方法；第二類上法應(yīng)先到達(dá)第（n-2）階，再一步“登頂”，有a_n-2種方法，于是得到遞推關(guān)系式：a_n=a_n-2+a_n-3，n≥4．據(jù)此求出a₁₂的值．

解答：解：設(shè)小明上n階樓梯有a_n種上法，n是正整數(shù)，則a₁=0，a₂=1，a₃=1．
由加法原理知a_n=a_n-2+a_n-3，n≥4．
遞推可得a₄=a₂+a₁=1，
a₅=a₃+a₂=2，
a₆=a₄+a₃=2，
a₇=a₅+a₄=3，
a₈=a₆+a₅=4，
a₉=a₇+a₆=5，
a₁₀=a₈+a₇=7，
a₁₁=a₉+a₈=9，
a₁₂=a₁₀+a₉=12．
答：小明上12階樓梯的不同上法有12種．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng)：本題是規(guī)律性題目，主要考查了加法原理的應(yīng)用，屬于競(jìng)賽題型，有一定難度．解答此題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)所給的條件，分析出上n階樓梯的方法有兩類，而由加法原理知a_n等于兩類上樓梯方法數(shù)之和．