Question

某花園的小徑如右圖所示．一個(gè)人能不能從圖中第1個(gè)點(diǎn)的位置出發(fā)，不重復(fù)地走過所有小徑？如果能，請(qǐng)標(biāo)出所經(jīng)過各點(diǎn)的順序（如：1→2→3→…→1）如果不能，請(qǐng)標(biāo)出至少必須重復(fù)的小徑（如1→2，2→3，8→9或11→12等等）．

Answer 1

考點(diǎn)：一筆畫定理,多筆畫定理

專題：幾何的計(jì)算與計(jì)數(shù)專題

分析：首先這個(gè)圖有8個(gè)奇點(diǎn)，那么不能一筆畫出，筆畫數(shù)恰等于奇點(diǎn)個(gè)數(shù)的一半．事實(shí)上，對(duì)于任意的連通圖來說，如果有2n個(gè)奇點(diǎn)（n 為自然數(shù)），那么這個(gè)圖一定可以用n筆畫成．公式如下：奇點(diǎn)數(shù)÷2=筆畫數(shù)，所以需要8÷2=4筆畫出這個(gè)圖，那么需要重復(fù)其中的3條．

解答： 解：圖中1～8這八個(gè)點(diǎn)都是奇點(diǎn)，所以不能無重復(fù)地走完各小徑；
要想連貫地走完各條小徑，就要重復(fù)走某些小徑，可以這樣想，把兩個(gè)奇點(diǎn)之間連一條線，那么就有兩個(gè)奇點(diǎn)變成了偶點(diǎn)，對(duì)于本題來說就是重復(fù)一次，即兩個(gè)奇點(diǎn)之間多走一次．最后當(dāng)把奇點(diǎn)數(shù)壓縮到2個(gè)時(shí)，方可一筆畫成，一共8個(gè)奇點(diǎn)，就需減少6個(gè)奇點(diǎn)，可以連3和4、5和6、7和8，最后剩下兩個(gè)奇點(diǎn)，須重復(fù)的小徑至少需要3條，比如3→4，5→6，7→8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一筆畫的特點(diǎn)：是連通圖，由偶點(diǎn)組成的，或只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖才能一筆畫成，以及多筆畫筆畫數(shù)的計(jì)算公式：筆畫數(shù)=奇點(diǎn)數(shù)÷2．