Question

有6個(gè)棱長分別是3cm，4cm，5cm的相同的長方體，把它們的某些面染上紅色，使得有的長方體只有一個(gè)面是紅色的，有的長方體恰有兩個(gè)面是紅色的，有的長方體恰有三個(gè)面是紅色的，有的長方體恰有四個(gè)面是紅色的，有的長方體恰有五個(gè)面是紅色的，還有一個(gè)長方體恰有六個(gè)面都是紅色的，染色后把所有長方體分割成棱長為1厘米的小正方體，分割完畢后，恰好只有一面是紅色的小正方體最多有多少個(gè)？

Answer 1

分析：要求最多有多少個(gè)一面涂色的小正方體，涂色時(shí)，就要盡量涂面積最大的長方體的面，然后再根據(jù)每個(gè)面上一面是紅色的小正方體的個(gè)數(shù)．
（1）一面涂色的面應(yīng)是長5厘米，寬4厘米的長方形，
（2）兩面涂色的面也應(yīng)是長5厘米，寬4厘米的2個(gè)長方形，
（3）三面涂色的面也應(yīng)是長5厘米，寬4厘米的2個(gè)長方形，和一個(gè)長4厘米，寬3厘米的長方形，這樣比涂長5厘米，寬3厘米的長方形，涂一面的多．
（4）四面涂色的面也應(yīng)是長5厘米，寬4厘米的2個(gè)長方形，和兩個(gè)長4厘米，寬3厘米的長方形，
（5）五面涂色的面也應(yīng)是長5厘米，寬4厘米的2個(gè)長方形，和兩個(gè)長4厘米，寬3厘米的長方形，和一個(gè)長5厘米，寬3厘米的長方形，
（6）六面涂色的面也應(yīng)是長5厘米，寬4厘米的2個(gè)長方形，和兩個(gè)長5厘米，寬3厘米的長方形，和兩個(gè)長4厘米，寬3厘米的長方形．據(jù)此解答．

解答：解：（1）一面是紅色的正方體上一面涂色的有：
5×4=20（個(gè)），
（2）兩面涂色的正方體上一面涂色的有：
5×4×2=40（個(gè)），
（3）三面涂色的正方體上一面涂色的有：
（5-1）×4×2+（3-1-1）×4，
=4×4×2+1×4，
=32+4，
=36（個(gè)），
（4）四面涂色的正方體上一面涂色的有：
（5-1）×（4-1）×2+（3-1-1）×4×2，
=4×3×2+1×4×2，
=24+8，
=32（個(gè)），
（5）五面涂色的正方體上一面涂色的有：
（5-1-1）×（4-1）×2+（3-1-1）×（4-1）×2+（5-1-1）×（3-1-1），
=3×3×2+1×3×2+3×1，
=18+6+3，
=27（個(gè)），
（6）六面涂色的正方體上一面涂色的有：
（5-1-1）×（4-1-1）×2+（3-1-1）×（4-1-1）×2+（5-1-1）×（3-1-1）×2，
=3×2×2+1×2×2+3×1×2，
=12+4+6，
=22（個(gè)），
一共一面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)是：
20+40+36+32+27+22=177（個(gè)），
答：恰好只有一面是紅色的小正方體最多有177個(gè)．

點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵是求出每面能切出的一面涂色的個(gè)數(shù)，和每個(gè)長方體涂的是哪個(gè)面．