Question

有三個連續(xù)的四位正整數(shù)，中間一個為完全平方數(shù)，且三個數(shù)的和能被15整除，則中間的數(shù)的最小值是

1225

．

Answer 1

分析：由于是三個連續(xù)的正整數(shù)，所以可設(shè)這三個連續(xù)正整數(shù)為：設(shè)為n-1，n，n+1．則三數(shù)之和為（n-1）+n+（n+1）=3n，三個數(shù)之和肯定能被3整除，因為3數(shù)之和能被15整除，15=5×3，所以n能被5整除即，中間一個數(shù)肯定能被5整除．因為n為完全平方數(shù)，所以n能被25整除．據(jù)此通過求得這個完全平方數(shù)的最小值是多少．

解答：解：可設(shè)這三個連續(xù)正整數(shù)為：設(shè)為n-1，n，n+1．
則三數(shù)之和為（n-1）+n+（n+1）=3n，
因為3數(shù)之和能被15整除，15=5×3，所以n能被5整除；
因為n為完全平方數(shù)，所以n能被25整除．
設(shè)n=25K
k為完全平方數(shù)有小到大為0，1，4，9，16，25，36，49．
因為36×25=900，49×25=1225．n為4位數(shù)，
所以1225為最小所求的四位數(shù)．
故答案為：1225．

點評：如果一個完全平方的數(shù)的兩個因數(shù)中的一個因數(shù)為完全平方數(shù)，則別一個因數(shù)一定也定為完全平方數(shù)．