【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上,反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象與正方形OABC的兩邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N,NDx軸,垂足為D,連接OM、ON、MN,則下列選項(xiàng)中的結(jié)論錯(cuò)誤的是( 。

A. ONC≌△OAM

B. 四邊形DAMNOMN面積相等

C. ON=MN

D. 若∠MON=45°,MN=2,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,+1)

【答案】C

【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得到SONC=SOAM=k,即OCNC=OAAM,而OC=OA,則NC=AM,再根據(jù)“SAS”可判斷△OCN≌△OAM;根據(jù)SOND=SOAM=kSOND+S四邊形DAMN=SOAM+SOMN,即可得到S四邊形DAMN=SOMN

根據(jù)全等的性質(zhì)得到ON=OM,由于k的值不能確定,則∠MON的值不能確定,無(wú)法確定△ONM為等邊三角形,則ON≠M(fèi)N;作NE⊥OME點(diǎn),則△ONE為等腰直角三角形,設(shè)NE=x,則OM=ON=x,EM=x-x=(-1)x,在Rt△NEM中,利用勾股定理可求出x2=2+,所以ON2=(x)2=4+2,易得△BMN為等腰直角三角形,得到BN=MN=,設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a,在Rt△OCN中,利用勾股定理可求出a的值為+1,從而得到C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,+1).

∵點(diǎn)M、N都在y=的圖象上,

∴SONC=SOAM=k,即OCNC=OAAM,

∵四邊形ABCO為正方形,

∴OC=OA,∠OCN=∠OAM=90°,

∴NC=AM,

∴△OCN≌△OAM,

∴A正確;

∵SOND=SOAM=k,

SOND+S四邊形DAMN=SOAM+SOMN

∴四邊形DAMN與△MON面積相等,

∴B正確;

∵△OCN≌△OAM,

∴ON=OM,

∵k的值不能確定,

∴∠MON的值不能確定,

∴△ONM只能為等腰三角形,不能確定為等邊三角形,

∴ON≠M(fèi)N,

∴C錯(cuò)誤;

NE⊥OME點(diǎn),如圖所示:

∵∠MON=45°,∴△ONE為等腰直角三角形,

∴NE=OE,

設(shè)NE=x,則ON=x,

∴OM=x,

∴EM=x-x=( -1)x,

Rt△NEM中,MN=2,

∵M(jìn)N2=NE2+EM2,即22=x2+[( -1)x]2,

∴x2=2+,

∴ON2=(x)2=4+2,

∵CN=AM,CB=AB,

∴BN=BM,

∴△BMN為等腰直角三角形,

∴BN=MN=,

設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a,則OC=a,CN=a-

Rt△OCN中,∵OC2+CN2=ON2,

∴a2+(a-2=4+2,解得a1=+1,a2=-1(舍去),

∴OC=+1,

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,+1),

∴D正確.

故選:C.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(3)點(diǎn)Py軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,過(guò)點(diǎn)PPQPAy軸于點(diǎn)Q,問(wèn):是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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