Question

【題目】在△ABC 中，AC=BC，點(diǎn) E 在是 AB 邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與 A、B 重合），連接 CE，點(diǎn) P 是直線 CE 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）如圖 1，∠ACB=120°，AB=16，E 是 AB 中點(diǎn)，EM=2，N 是射線 CB 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 若使得 NP+MP 的值最小，應(yīng)如何確定 M 點(diǎn)和點(diǎn) N 的位置？請(qǐng)你在圖 2 中畫出點(diǎn) M 和點(diǎn) N 的位置，并簡(jiǎn)述畫法： 直接寫出 NP+MP 的最小值

（2）如圖 3，∠ACB=90°，連接 BP， BPC=75°且 BC=BP．求證：PC=PA．

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；最小值為5；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）畫法：作點(diǎn)M關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)作N⊥BC交EC于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)N ，根據(jù)作圖直接寫出NP+MP 的最小值即可；

（2）過(guò)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，PD⊥AC交EC于點(diǎn)D，先證明△BFC≌△DPC，可得PF＝CD，再根據(jù)特殊三角函數(shù)值得PB＝2PF，再根據(jù)BC=BP，AC=BC，可得AC＝2CD ，再根據(jù)PD⊥AC，即可證明PC＝PA．

（1）畫法：作點(diǎn)M關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)作N⊥BC交EC于點(diǎn)P，

交BC于點(diǎn)N

∵AB=16，E 是 AB 中點(diǎn)

∴

∵，點(diǎn)是M關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)

∴

∴

∵，

∴

∵過(guò)作N⊥BC交EC于點(diǎn)P

∴

∴在中

故最小值為5

（2）過(guò)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，PD⊥AC交EC于點(diǎn)D，

∵∠CPF＝∠PCD＝15°，

∠PFC＝∠PDC＝90°．

∴△BFC≌△DPC．

∴PF＝CD ．

∵∠PFB＝90°，∠PBF＝30°

∴PB＝2PF．

∵BC=BP，AC=BC

∴BP= AC

∴AC＝2CD

∵PD⊥AC

∴PC＝PA