【題目】如圖,一次函數(shù)yk1xb的圖象與反比例函數(shù)y (x<0)的圖象相交于點(diǎn)A(-1,2)、點(diǎn)B(-4,n).

(1)求此一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)AOB的面積;

(3)x軸上存在一點(diǎn)P,使PAB的周長(zhǎng)最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1) ;(2) ;(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,0

【解析】分析:(1)由點(diǎn)A的坐標(biāo)求反比例函數(shù)的解析式,得到點(diǎn)B的坐標(biāo),待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式;(2)分別過(guò)點(diǎn)A,B用坐標(biāo)軸的平行線構(gòu)造矩形,用圖形面積的和差關(guān)系求三角形AOB的面積;(3)作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A直線ABx軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)P.

詳解:(1)∵反比例的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(—1,2),

=—1×2=—2,

∴反比例函數(shù)表達(dá)式為:,

∵反比例的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(—4,n),

∴—4n=—2,,∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(—4,),

∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(—1,2),點(diǎn)B(—4,),

,

①—②,得:3,∴,

代入①,得:b,

∴一次函數(shù)表達(dá)式為:

(2)如圖1所示,分別過(guò)點(diǎn)BBDx軸,垂足為D,過(guò)點(diǎn)AAEy軸,垂足為E則四邊形ODFE為矩形,

∵點(diǎn)A(—1,2),點(diǎn)B(—4,),

ODEF=4,OEDF=2,AE=1,BD

,.

∵點(diǎn)A,點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上,∴

.

(3)如圖2所示,作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AB,交x軸于點(diǎn)P,此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小,

∵點(diǎn)AA(—1,2)關(guān)于x軸對(duì)稱,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(—1,—2),

設(shè)直線AB的表達(dá)式為

∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(—1,—2),點(diǎn)B(—4,),∴

解得:.

∴直線AB的表達(dá)式為:.

當(dāng)y0時(shí),則x,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(,0).

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