Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DBE后，再把△ABC沿射線AB平移至△FEG，DE、FG相交于點(diǎn)H．
（1）判斷線段DE、FG的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）連結(jié)CG，求證：四邊形CBEG是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）解：FG⊥ED．理由如下：

∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DBE后，

∴∠DEB=∠ACB，

∵把△ABC沿射線平移至△FEG，

∴∠GFE=∠A，

∵∠ABC=90°，

∴∠A+∠ACB=90°，

∴∠DEB+∠GFE=90°，

∴∠FHE=90°，

∴FG⊥ED；

（2）證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，

∵CG∥EB，

∴∠BCG=∠CBE=90°，

∴四邊形BCGE是矩形，

∵CB=BE，

∴四邊形CBEG是正方形．

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根據(jù)∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°，進(jìn)而得到∠DEB+∠GFE=90°，從而得到DE、FG的位置關(guān)系是垂直；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移找出對(duì)應(yīng)線段和角，然后再證明是矩形，后根據(jù)鄰邊相等可得四邊形CBEG是正方形．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的判定方法的相關(guān)知識(shí)，掌握先判定一個(gè)四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個(gè)四邊形是菱形，再判定出有一個(gè)角是直角，以及對(duì)平移的性質(zhì)的理解，了解①經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化；②經(jīng)過平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一直線上）且相等．