【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為aECD邊上一點(不與端點重合),將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG,CF.給出下列判斷:①∠EAG45°;②若DEa,則AGCF;③若ECD的中點,則△GFC的面積為a2;④若CFFG,則;⑤BGDE+AFGEa2.其中正確的是____________.(寫出所有正確判斷的序號)

【答案】①②④⑤.

【解析】

①由折疊得AD=AF=AB,再由HL定理證明RtABGRtAFG便可判定正誤;

②設BG=GF=x,由勾股定理可得求得BG=,進而得GC=GF,得∠GFC=GCF,再證明∠AGB=GCF,便可判斷正誤;

③設BG=GF=y,則CG=a-y,由勾股定理得y的方程求得BGGF,EF,再由同高的兩個三角形的面積比等于底邊之比,求得△CGF的面積,便可判斷正誤;

④證明∠FEC=FCE,得EF=CF=GF,進而得EG=2DE,CG=CE=a-DE,由等腰直角三角形的斜邊與直角邊的關系式便可得結論,進而判斷正誤;

⑤設BG=GF=b,DE=EF=c,則CG=a-bCE=a-c,由勾股定理得再得△CEG的面積為BGDE,再由五邊形ABGED的面積加上△CEG的面積等于正方形的面積得結論,進而判斷正誤.

解:①∵四邊形ABCD是正方形,

AB=BC=AD=a

∵將△ADE沿AE對折至△AFE,

∴∠AFE=ADE=ABG=90°,AF=AD=AB,EF=DE,∠DAE=FAE,

RtABGRtAFG

,

RtABGRtAFGHL),

∴∠BAG=FAG

∴∠GAE=GAF+EAF=×90°=45°,故①正確;

RtABGRtAFG

BG=GF,∠BGA=FGA,

BG=GF=x,

DE=a,

EF=a, CG=a-x

RtEGC中,EG=x+a,CE=a

由勾股定理可得:

解得:

此時BG=GF=a,CG=a,

GC=GF, ∴∠GFC=GCF

∵∠BGF=GFC+GCF,

2AGB=GFC+GCF=2GCF,

∴∠AGB=GCF

AGCF,/span> ∴②正確;

③若ECD的中點,則DE=CE=EF=a,

BG=GF=y,則CG=a-y,

,

解得:y= a,

BG=GF=a,CG=

SCFGSCEG 故③錯誤;

④當CF=FG,則∠FGC=FCG

∵∠FGC+FEC=FCG+FCE=90°,

∴∠FEC=FCE, EF=CF=GF,

BG=GF=EF=DE,

EG=2DE,CG=CE=a-DE,

CEEG,即(aDE)2DE, DE=, 故④正確;

⑤設BG=GF=b,DE=EF=c,則CG=a-b,CE=a-c,

由勾股定理得:

整理得:

SCEG(ab)(ac)()=(bc+bc)bc,

SCEG=BGDE

SABG=SAFG,SAEF=SADE

S五邊形ABGED2SAGE2×AFEGAFEG,

S五邊形BGED+SCEG=S正方形ABCD,

BGDE+AFEG=故⑤正確.

故答案為:①②④⑤.

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