【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0),點(diǎn)C三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)x軸上是否存在點(diǎn)P,使PC+PB最?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及PC+PB的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)連接BC,設(shè)E為線段BC中點(diǎn).若M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),將點(diǎn)M繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)N,當(dāng)以B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí),直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)P(,0);PC+PB的最小值;(3)N(,)或(,).
【解析】
(1)先按拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),展開,即可得出結(jié)論;
(2)在x軸下方作∠ABD=30°,交y軸負(fù)半軸于D,先求出OD=,BD= ,進(jìn)而求出CD=3+ ,再判斷出當(dāng)點(diǎn)C,P,B在同一條直線上時(shí),PC+最小,最小值為CB',即可得出結(jié)論;
(3)先判斷出點(diǎn)M在x軸上方的拋物線,再構(gòu)造出△BEM∽△CFM,得出即可得出結(jié)論.
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0),
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣3)=ax2﹣2ax﹣3a,
∴﹣3a=3,
∴a=﹣1,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)如圖,
在x軸下方作∠ABD=30°,交y軸負(fù)半軸于D,則BD=2OD,
∵B(3,0),
∴OB=3,
根據(jù)勾股定理得,BD2﹣OD2=32,
∴4OD2﹣OD2=9,
∴OD= ,BD= ,
∵拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,
∴C(0,3),
∴OC=3,
∴CD=3+ ,
過點(diǎn)P作PB'⊥BD于B',
在Rt△PB'B中,PB'=PB,
∴PC+ PB=PC+PB',
當(dāng)點(diǎn)C,P,B在同一條直線上時(shí),PC+PB最小,最小值為CB',
∵S△BCD=CDOB=BDCB',
∴
即PC+PB的最小值 ,
∵OB=OC=3,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∴∠DBC=45°+30°=75°,
∴∠BCP=90°﹣75°=15°,
∴∠OCP=30°,
∵OC=3,
∴OP= ,
∴P(,0);
(3)如備用圖,
設(shè)M(m,﹣m2+2m+3),
以B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,
∴∠BMC=90°,
∵點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸,且∠BOC=90°,
∴點(diǎn)M在x軸上方的拋物線,
過點(diǎn)M作ME⊥x軸于E,作MF⊥y軸于F,
∴∠MEO=∠MFO=90°=∠EOF,
∴四邊形OEMF是矩形,
∴∠EMF=90°,
∴∠BME=∠CMF,
∵ ∠BEM=∠CFM=90°,
∴△BEM∽△CFM,
∴
∴
∴m= ,
∴M( , )或( ,),
∵點(diǎn)N是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)E(,)的對(duì)稱點(diǎn),
∴或
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,OD∥AC,AD=OC.
(1)求證:四邊形OCAD是平行四邊形;
(2)若AD與⊙O相切,求∠B.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y(k為常數(shù),k≠0)的圖象交于二、四象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn).點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,5),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,n),tan∠AOC.
(1)求k的值;
(2)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo),并求直線AB的解析式;
(3)P是y軸上一點(diǎn),且S△PBC=2S△AOB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】△ABC在邊長(zhǎng)為l的正方形網(wǎng)格中如圖所示.
①以點(diǎn)C為位似中心,作出△ABC的位似圖形△A1B1C,使其位似比為1:2.且△A1B1C位于點(diǎn)C的異側(cè),并表示出A1的坐標(biāo).
②作出△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A2B2C.
③在②的條件下求出點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,按以下步驟作圖:①分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心,大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)M和N;②作直線MN,分別交邊AB,BC于點(diǎn)D和E,連接CD.若∠BCA=90°,AB=8,則CD的長(zhǎng)為_____.
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【題目】如圖1,小球從左側(cè)的斜坡滾下,到達(dá)底端后又沿著右側(cè)斜坡向上滾,在這個(gè)過程中,小球的運(yùn)動(dòng)速度v(單位:m/s)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t (單位:s)的函數(shù)圖象如圖2,則該小球的運(yùn)動(dòng)路程y(單位:m)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(單位:s)之間的函數(shù)圖象大致是( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,將△ABC沿直線AB翻折得到△ABD,連接CD交AB于點(diǎn)M.E是線段CM上的點(diǎn),連接BE.F是△BDE的外接圓與AD的另一個(gè)交點(diǎn),連接EF,BF,
(1)求證:△BEF是直角三角形;
(2)求證:△BEF∽△BCA;
(3)當(dāng)AB=6,BC=m時(shí),在線段CM正存在點(diǎn)E,使得EF和AB互相平分,求m的值.
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【題目】在某項(xiàng)比賽中,已知不同小組的甲、乙兩隊(duì)的五次預(yù)選賽成績(jī)(每次比賽的成績(jī)?yōu)?/span>0分,10分,20分三種情況)分別如下列不完整的統(tǒng)計(jì)表及條形統(tǒng)計(jì)圖所示.
甲隊(duì)五次預(yù)選賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
比賽場(chǎng)次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
成績(jī)(分) | 20 | 0 | 20 | x | 20 |
乙隊(duì)五次預(yù)選賽成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖
已知甲、乙兩隊(duì)五次預(yù)選賽成績(jī)的眾數(shù)相同,平均數(shù)也相同.
(1)求出乙第四次預(yù)選賽的成績(jī);
(2)求甲隊(duì)成績(jī)的平均數(shù)及x的值;
(3)從甲、乙兩隊(duì)前3次比賽中隨機(jī)各選擇一場(chǎng)比賽的成績(jī)進(jìn)行比較,求選擇到的甲隊(duì)成績(jī)優(yōu)于乙隊(duì)成績(jī)的概率.
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【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,E為CD邊上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE,延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG,CF.給出下列判斷:①∠EAG=45°;②若DE=a,則AG∥CF;③若E為CD的中點(diǎn),則△GFC的面積為a2;④若CF=FG,則;⑤BGDE+AFGE=a2.其中正確的是____________.(寫出所有正確判斷的序號(hào))
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