【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在兩坐上,且點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)C(,0),如圖所示:拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B。
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)在拋物線上是否還存在點(diǎn)P(點(diǎn)B除外),使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
【答案】(1)(-3,1);(2)y=x2+x-2;(3)P1(1,-1)、P2(2,1).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)題意,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸,垂足為D;根據(jù)角的互余的關(guān)系,易得B到x、y軸的距離,即B的坐標(biāo);
(2)根據(jù)拋物線過(guò)B點(diǎn)的坐標(biāo),可得a的值,進(jìn)而可得其解析式;
(3)首先假設(shè)存在,分A、C是直角頂點(diǎn)兩種情況討論,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),可得答案.
試題解析:(1)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸,垂足為D,
∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,
∴∠BCD=∠CAO,
又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,
∴△BCD≌△CAO,
∴BD=OC=1,CD=OA=2,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,1);
(2)拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-3,1),則得到1=9a-3a-2,
解得a=,
所以拋物線的解析式為y=x2+x-2;
(3)假設(shè)存在點(diǎn)P,使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形:
①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn);則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,
過(guò)點(diǎn)P1作P1M⊥x軸,
∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,
∴△MP1C≌△DBC.
∴CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得點(diǎn)P1(1,-1);
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn);
則過(guò)點(diǎn)A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2,
過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥y軸,同理可證△AP2N≌△CAO,
∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得點(diǎn)P2(2,1),
經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)P1(1,-1)與點(diǎn)P2(2,1)都在拋物線y=x2+x-2上.
考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市舉行“傳承好家風(fēng)”征文比賽,已知每篇參賽征文成績(jī)記m分(60≤m≤100),組委會(huì)從1000篇征文中隨機(jī)抽取了部分參賽征文,統(tǒng)計(jì)了他們的成績(jī),并繪制了如下不完整的兩幅統(tǒng)計(jì)圖表.
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解決下列問(wèn)題:
(1)征文比賽成績(jī)頻數(shù)分布表中c的值是________;
(2)補(bǔ)全征文比賽成績(jī)頻數(shù)分布直方圖;
(3)若80分以上(含80分)的征文將被評(píng)為一等獎(jiǎng),試估計(jì)全市獲得一等獎(jiǎng)?wù)魑牡钠獢?shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線、相交于點(diǎn)..
(1)求的度數(shù);
(2)以為端點(diǎn)引射線、,射線平分,且,求的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)如圖1,、分別平分、.試說(shuō)明:;
(2)如圖2,若,,、分別平分、,那么 (只要直接填上正確結(jié)論即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某片果園有果樹80棵,現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些果樹提高果園產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每棵樹所受光照就會(huì)減少,單棵樹的產(chǎn)量隨之降低,若該果園每棵果樹產(chǎn)果y千克,增種果樹x棵,它們之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求y與x之間的函數(shù)解析式;
(2)在投入成本最低的情況下,增種果樹多少棵時(shí),果園可以收獲果實(shí)6750千克?
(3)當(dāng)增種果樹多少棵時(shí),果園的總產(chǎn)量w(千克)最大?最大產(chǎn)量是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖四邊形ABCD是菱形,且∠ABC=60,△ABE是等邊三角形,M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM,則下列五個(gè)結(jié)論中正確的是( 。
①若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1,則AM+CM的最小值1;
②△AMB≌△ENB;
③S四邊形AMBE=S四邊形ADCM;
④連接AN,則AN⊥BE;
⑤當(dāng)AM+BM+CM的最小值為2時(shí),菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2.
A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①②⑤ D. ②③⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】今年“五一”節(jié),小明外出爬山,他從山腳爬到山頂?shù)倪^(guò)程中,中途休息了一段時(shí)間.設(shè)他從山腳出發(fā)后所用時(shí)間為t(分鐘),所走的路程為s(米),s與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列四種說(shuō)法:①小明中途休息用了20分鐘;②小明休息前爬山的平均速度為每分鐘70米;③小明在上述過(guò)程中所走的路程為6600米;④小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度.其中正確的是________(填序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,分別以直角△ABC的斜邊AB,直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE,F(xiàn)為AB的中點(diǎn),DE與AB交于點(diǎn)G,EF與AC交于點(diǎn)H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.給出如下結(jié)論:
①EF⊥AC;②四邊形ADFE為菱形;③AD=4AG;④FH=BD
其中正確結(jié)論的為______(請(qǐng)將所有正確的序號(hào)都填上).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,點(diǎn)O在AB上,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的⊙O與BC相切于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)若CD=1,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π).
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