Question

【題目】拋物線過點，頂點為M點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）試判斷拋物線上是否存在一點P，使∠POM＝90．若不存在，說明理由；若存在，求出P點的坐標；

（3）試判斷拋物線上是否存在一點K，使∠OMK＝90，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在．

【解析】

試題（1）將A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三點坐標代入y=ax2+bx+c中，列方程組求a、b、c的值，得出拋物線解析式；

（2）拋物線上存在一點P，使∠POM=90．設（a，a2-4a），過P點作PE⊥y軸，垂足為E；過M點作MF⊥y軸，垂足為F，利用互余關系證明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）拋物線上必存在一點K，使∠OMK=90．過頂點M作MN⊥OM，交y軸于點N，在Rt△OMN中，利用互余關系證明△OFM∽△MFN，利用相似比求N點坐標，再求直線MN解析式，將直線MN解析式與拋物線解析式聯(lián)立，可求K點坐標．

（1）根據(jù)題意，得

解得

∴ 拋物線的解析式為．

（2）拋物線上存在一點P，使∠POM＝90．

x=，.

∴ 頂點M的坐標為．

設拋物線上存在一點P，滿足OP⊥OM，其坐標為．

過P點作PE⊥y軸，垂足為E；過M點作MF⊥y軸，垂足為F．

則 ∠POE＋∠MOF＝90，∠POE＋∠EPO＝90．

∴ ∠EPO＝∠FOM．

∵ ∠OEP＝∠MFO＝90，

∴ Rt△OEP∽Rt△MFO．

∴ OE∶MF=EP∶OF．

即．

解，得（舍去），．

∴ P點的坐標為．

（3）

過頂點M作MN⊥OM，交y軸于點N．則 ∠FMN＋∠OMF＝90．

∵ ∠MOF＋∠OMF＝90，

∴ ∠MOF＝∠FMN．

又∵ ∠OFM＝∠MFN＝90，

∴ △OFM∽△MFN．

∴ OF∶MF＝MF∶FN． 即 4∶2＝2∶FN．∴ FN＝1．

∴ 點N的坐標為（0，-5）．

設過點M，N的直線的解析式為．

解，得直線的解析式為．

∴把①代入②，得．

．

∴ 直線MN與拋物線有兩個交點（其中一點為頂點M）．

∴ 拋物線上必存在一點K，使∠OMK＝90．