Question

【題目】如圖1，已知△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)（與點(diǎn)A分別在直線BC兩側(cè)），且DB＝DC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，交射線AB于E，連接AE交BC于F．

（1）求證：AD垂直BC；

（2）如圖1，點(diǎn)E在線段AB上且不與B重合時(shí)，求證：DE＝AE；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，寫出線段DE，AC，BE的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）DE＝AC+BE．

【解析】

（1）根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到直線AD是BC的垂直平分線，證明結(jié)論；

（2）證明△ABD≌△ACD，得到∠BAD＝∠CAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD，等量代換得到∠BAD＝∠EDA，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明；

（3）仿照（2）的證明方法解答．

（1）∵AB＝AC，DB＝DC，

∴直線AD是BC的垂直平分線，

∴AD垂直BC；

（2）在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠EDA＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠EDA，

∴DE＝AE；

（3）DE＝AC+BE．

由（2）得，∠BAD＝∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠EDA＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠EDA，

∴DE＝AE，

∵AB＝AC，

∴DE＝AB+BE＝AC+BE．