Question

【題目】如圖，已知拋物線 經(jīng)過 、 兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）將直線OB向下平移m個(gè)單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖，已知點(diǎn)N在拋物線上，且 .

①求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；

②在（2）的條件下，直接寫出所有滿足 的點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2) ；（3）①點(diǎn)N的坐標(biāo)為，②點(diǎn)P的坐標(biāo)為 或 .

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案即可；

（2）根據(jù)已知條件可求出OB的解析式為y=x，則向下平移m個(gè)單位長度后的解析式為：y=x-m．由于拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）①設(shè)點(diǎn)N（n，n+3），又點(diǎn)N在拋物線y=x2-3x上，代入拋物線的解析式即可求出n的值，進(jìn)而得到N的坐標(biāo)；

②首先求出直線A′B的解析式，進(jìn)而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，進(jìn)而求出點(diǎn)P1的坐標(biāo)，再利用翻折變換的性質(zhì)得出另一點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1） 拋物線 經(jīng)過點(diǎn) ， .

解得：

拋物線的解析式是

（2）設(shè)直線OB的解析式為 ，由點(diǎn) ，

得： ，解得 .

直線OB的解析式為

直線OB向下平移m個(gè)單位長度后的解析式為： .

點(diǎn)D在拋物線 上.

可設(shè) .

又點(diǎn)D在直線上，

，即 .

拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

，解得：

此時(shí) ， ，

點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2)

（3）①∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），

∴點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（0，3），

根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得出∠A′BO=∠ABO，

設(shè)直線A′B的解析式為y=k2x+3，過點(diǎn)（4，4），

∴4k2+3=4，解得：k2=，

∴直線A′B的解析式是y=x+3，

∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，

∴BA′和BN重合，

即點(diǎn)N在直線A′B上，

∴設(shè)點(diǎn)N（n，n+3），又點(diǎn)N在拋物線y=x2-3x上，

∴=n2-3n，

解得：n1=-，n2=4（不合題意，舍去）

∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，）．

②如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N1OB1，

由①可知：N1 （-，-），B1（4，-4）．

∴O、D、B1都在直線y=-x上．

過D點(diǎn)做DP1∥N1B1，

∵△P1OD∽△NOB，

∴△P1OD∽△N1OB1，

∴P1為O N1的中點(diǎn)．

∴，

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（-，-）．

將△P1OD沿直線y=-x翻折，可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)到x軸距離等于P1到y軸距離，點(diǎn)到y軸距離等于P1到x軸距離，

∴此點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，-）和（，）．