【題目】如圖,已知拋物線 經過 、 兩點.

1)求拋物線的解析式;

2)將直線OB向下平移m個單位長度后,得到的直線與拋物線只有一個公共點D,求m的值及點D的坐標;

3)如圖,已知點N在拋物線上,且 .

①求出點N的坐標;

②在(2)的條件下,直接寫出所有滿足 的點P的坐標.

【答案】1;(2D點坐標為(2,-2) ;(3)①點N的坐標為,②點P的坐標為 .

【解析】

1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進而得出答案即可;

2)根據(jù)已知條件可求出OB的解析式為y=x,則向下平移m個單位長度后的解析式為:y=x-m.由于拋物線與直線只有一個公共點,意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程,其根的判別式等于0,由此可求出m的值和D點坐標;

3)①設點Nn,n+3),又點N在拋物線y=x2-3x上,代入拋物線的解析式即可求出n的值,進而得到N的坐標;

②首先求出直線A′B的解析式,進而由△P1OD∽△NOB,得出△P1OD∽△N1OB1,進而求出點P1的坐標,再利用翻折變換的性質得出另一點的坐標.

1 拋物線 經過點 , .

解得:

拋物線的解析式是

2)設直線OB的解析式為 ,由點

得: ,解得 .

直線OB的解析式為

直線OB向下平移m個單位長度后的解析式為: .

D在拋物線 .

可設 .

又點D在直線上,

,即 .

拋物線與直線只有一個公共點,

,解得:

此時 , ,

點坐標為(2,-2)

3)①∵直線OB的解析式為y=x,且A3,0),

∴點A關于直線OB的對稱點A′的坐標是(0,3),

根據(jù)軸對稱性質和三線合一性質得出∠A′BO=ABO

設直線A′B的解析式為y=k2x+3,過點(4,4),

4k2+3=4,解得:k2=,

∴直線A′B的解析式是y=x+3,

∵∠NBO=ABO,∠A′BO=ABO,

BA′BN重合,

即點N在直線A′B上,

∴設點Nn,n+3),又點N在拋物線y=x2-3x上,

=n2-3n

解得:n1=-,n2=4(不合題意,舍去)

N點的坐標為(-,).

②如圖,將△NOB沿x軸翻折,得到△N1OB1,

由①可知:N1 --),B14-4).

O、DB1都在直線y=-x上.

D點做DP1N1B1,

∵△P1OD∽△NOB

∴△P1OD∽△N1OB1,

P1O N1的中點.

,

∴點P1的坐標為(-,-).

將△P1OD沿直線y=-x翻折,可得另一個滿足條件的點到x軸距離等于P1y軸距離,點到y軸距離等于P1x軸距離,

∴此點坐標為:(,).

綜上所述,點P的坐標為(--)和(,).

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(2)請補全條形統(tǒng)計圖;

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