Question

【題目】如圖，∠AOB=45°，點M，N在邊OA上，OM=x，ON=x+4，點P是邊OB上的點.若使點P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點P恰好有三個，則x的值是.

Answer 1

【答案】x=0或x= 或4≤x<4
【解析】解：以MN為底邊時，可作MN的垂直平分線，與OB必有一個交點P1 ， 且MN=4，以M為圓心MN為半徑畫圓，以N為圓心MN為半徑畫圓，
①如下圖，當M與點O重合時，即x=0時，
除了P1 ， 當MN=MP，即為P3；當NP=MN時，即為P2；
只有3個點P；

②當0<x<4時，如下圖，圓N與OB相切時，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此時MP3=4，
則OM=ON-MN= NP2-4= .

③因為MN=4，所以當x>0時，MN<ON，則MN=NP不存在，
除了P1外，當MP=MN=4時，
過點M作MD⊥OB于D，當OM=MP=4時，圓M與OB剛好交OB兩點P2和P3；

當MD=MN=4時，圓M與OB只有一個交點，此時OM= MD=4 ，

故4≤x<4 .
與OB有兩個交點P2和P3 ，
所以答案是x=0或x= 或4≤x<4 .
【考點精析】掌握相交兩圓的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦．