Question

【題目】如圖，以正五邊形的頂點(diǎn)為圓心，為半徑作圓弧交的延長線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓弧交的延長線于，依次進(jìn)行……得到螺旋線，再順次連結(jié)，，，，，得到5塊陰影區(qū)域，若記它們的面積分別為，，，，，且滿足，則的值為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由題意得，五個(gè)扇形的圓心角相等，所以面積比是半徑比的平方，根據(jù)面積比可表示出五個(gè)扇形面積，再根據(jù)底相等的三角形面積比等于高的比求出五個(gè)三角形的面積比并表示出來，從而分別求出各個(gè)陰影部分的面積，再根據(jù)即可求解.

解：因?yàn)樯刃?/span>AEA′、扇形BB′A′、扇形CC′B′、扇形DD′C′、扇形EE′D′圓心角相等，都是72°，半徑分別是正五邊形半徑、半徑的二倍、三倍、四倍、五倍，

由扇形面積公式可得，五個(gè)扇形面積從小到大的比是1:4:9:16:25，設(shè)：扇形AEA′的面積=m，則扇形BB′A′、扇形CC′B′、扇形DD′C′、扇形EE′D′的面積依次為：4m、9m、16m、25m；△AEA′、△BB′A′、△CC′B′、△DD′C′、△EE′D′中，AE=AB=BC=CD=DE，AA′：BB′：CC′：DD′：EE′=1:2：3:4:5，五個(gè)三角形分別以AE、AB、BC、CD、DE為底，易證五個(gè)三角形的面積比依次為：1:2：3:4:5，設(shè)S△AEA′=n，

則S△BB′A′=2n、S△CC′B′=3n、S△DD′C′=4n、S△EE′D′=5n，所以S5=25m-5n ， S2=4m-2n ， S4=16m-4n ， S3=9m-3n ， 因?yàn)?/span>，所以（25m-5n）-（4m-2n）=1，解得：7m-n=，所以=（16m-4n）-（9m-3n）=7m-n=.

故選：D.