【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB=10,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接DE,過點(diǎn)B作BP平行于DE,交⊙O于點(diǎn)P,連接CP、OP.
(1)求證:點(diǎn)D為BC的中點(diǎn);
(2)求AP的長度;
(3)求證:CP是⊙O的切線.
【答案】(1)BD=DC;(2)5;(3)詳見解析.
【解析】
(1)連接AD,由圓周角定理可知∠ADB=90°,證得結(jié)論;
(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD平分∠BAC,即∠BAD=∠CAD,可得,則BD=DE,所以BD=DE=DC,得到∠DEC=∠DCE,在等腰△ABC中可計(jì)算出∠ABC=75°,故∠DEC=75°,再由三角形內(nèi)角和定理得出∠EDC的度數(shù),再根據(jù)BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°,進(jìn)而得出∠ABP的度數(shù),然后利用OB=OP,可知∠OBP=∠OPB,由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BOP=90°,則△AOP是等腰直角三角形,易得AP的長度;
(3)設(shè)OP交AC于點(diǎn)G,由∠BOP=90°可知∠AOG=90°,在Rt△AOG中,由∠OAG=30°可得=,由于==,則=,根據(jù)三角形相似的判定可得到△AOG∽△CPG,由相似三角形形的性質(zhì)可知∠GPC=∠AOG=90°,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到CP是⊙O的切線.
(1)BD=DC.理由如下:
如圖1,連接AD,
∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC.
(2)如圖1,連接AP.
∵AD是等腰△ABC底邊上的中線,
∴∠BAD=∠CAD,
∴
∴BD=DE.
∴BD=DE=DC,
∴∠DEC=∠DCE,
△ABC中,AB=AC,∠A=30°,
∴∠DCE=∠ABC=(180°﹣30°)=75°,
∴∠DEC=75°,
∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°,
∵BP∥DE,
∴∠PBC=∠EDC=30°,
∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°,
∵OB=OP,
∴∠OBP=∠OPB=45°,
∴∠BOP=90°.
∴△AOP是等腰直角三角形.
∵AO=AB=5.
∴AP=AO=5;
(3)設(shè)OP交AC于點(diǎn)G,如圖1,
則∠AOG=∠BOP=90°,
在Rt△AOG中,∠OAG=30°,
∴=,
又∵==,
∴=,
∴=.
又∵∠AGO=∠CGP,
∴△AOG∽△CPG,
∴∠GPC=∠AOG=90°,
∴OP⊥PC,
∴CP是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△AOB和△A1OB1是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,且△AOB和△A1OB1的周長之比為1:2,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,2),則點(diǎn)B1的坐標(biāo)為( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(3,3),點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)C(0,﹣1).
(1)以點(diǎn)C為中心,把△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,請?jiān)趫D中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形△A′B′C,點(diǎn)B′的坐標(biāo)為________;
(2)在(1)的條件下,求出點(diǎn)A經(jīng)過的路徑的長(結(jié)果保留π).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】尋找神奇點(diǎn)!每條拋物線內(nèi)都有一個(gè)神奇的點(diǎn)F(也叫焦點(diǎn)),還有一條與之配套的直線!(也叫準(zhǔn)線),使得拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到F的距離等于到直線l的距離.如圖,對于拋物線上任意一點(diǎn)D,都有DF=DH.
根據(jù)以上知識(shí),我們來完成以下問題:
(1)因?yàn)閽佄锞是軸對稱圖形,由對稱性可知這個(gè)神奇的點(diǎn)F應(yīng)在拋物線的 上,且準(zhǔn)線l一定與對稱軸垂直即l⊥MN(對稱軸).
(2)若準(zhǔn)線l與對稱軸MN交于E,MN交拋物線于點(diǎn)P,則PE、PF的數(shù)量關(guān)系是PE PF(填>、=、<),
(3)求拋物線y=﹣(x﹣2)2+4的神奇點(diǎn)(焦點(diǎn))F的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,給出下列命題:①a+b+c=0;②b>2a;③方程ax2+bx+c=0的兩根分別為﹣3和1;④當(dāng)x<1時(shí),y<0.其中正確的命題是( 。
A.②③B.①③C.①②D.①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某射擊隊(duì)教練為了了解隊(duì)員訓(xùn)練情況,從隊(duì)員中選取甲、乙兩名隊(duì)員進(jìn)行射擊測試,相同條件下各射靶5次,成績統(tǒng)計(jì)如下:
命中環(huán)數(shù) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
甲命中相應(yīng)環(huán)數(shù)的次數(shù) | 0 | 1 | 3 | 1 | 0 |
乙命中相應(yīng)環(huán)數(shù)的次數(shù) | 2 | 0 | 0 | 2 | 1 |
(1)根據(jù)上述信息可知:甲命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是_____環(huán),乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)是______環(huán);
(2)試通過計(jì)算說明甲、乙兩人的成績誰比較穩(wěn)定?
(3)如果乙再射擊1次,命中8環(huán),那么乙射擊成績的方差會(huì)變。ㄌ“變大”、“變小”或“不變”)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限,且過點(diǎn)(0,1)和(﹣1,0).下列結(jié)論:①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤當(dāng)x>﹣1時(shí),y>0,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是
A.5個(gè) B.4個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,老張利用國慶假日在某釣魚場釣魚,風(fēng)平浪靜時(shí),魚漂露出水面部分AB=6m,微風(fēng)吹來時(shí),假設(shè)鉛錘P不動(dòng),魚漂移動(dòng)了一段距離BC,且項(xiàng)場恰好與水面平齊(即PAPC,水平線1與OC夾角a=8°(點(diǎn)A在OC上,則鉛錘P處的水深h為( 。▍⒖紨(shù)據(jù):sin8°=,cos8°=,tan8°=)
A.150cmB.144cmC.111cmD.105cm
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【題目】現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用,催生了快遞行業(yè)的高度發(fā)展.據(jù)調(diào)查,太原市某家小型“大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司,今年九月份與十一月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件.現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長率相同.
(1)求該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率;
(2)如果平均每人每月最多可投遞0.6萬件,那么該公司現(xiàn)有的21名快遞業(yè)務(wù)員能否完成今年十二月份的快遞投遞任務(wù)?如果不能,請問至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員?
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